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Valor Absoluto

 

EL concepto de valor absoluto tiene varios usos, pero es un concepto un poco complejo, que llega a comprenderse cuando se necesita explicar  algunos acontecimientos.

 

Existen varias definiciones técnicas de valor absoluto, aunque es probable que nunca llegues a necesitarlas, en el estudio de la matemática si es probable que necesites al menos una noción general del concepto de valor absoluto.

 

Por ahora diremos que el valor absoluto de un número es su distancia desde el cero.

 

 

 

 

Para ello pensemos en una recta numérica:

 

 

 

El valor absoluto de x, notado como |x|  es la distancia desde x a cero. Por esta razón podríamos explicar que el valor nunca es negativo;  dado que el valor absoluto sólo se refiere a  la distancia, y no se pregunta en que sentido nos debemos mover. Esto implica no sólo que  |3| = 3 , dado que 3 está a 3 unidades de distancia del cero, sino también que |-3|=3 pues -3 también se encuentra a 3 unidades a la izquierda del 0.

 

 

 

 

Cuidado: La notación usada para el valor absoluto es un par de barras verticales, no paréntesis o llaves. Se debe usar la notación correcta pues las distintas notaciones no significan la misma cosa.

 

 

 

Es importante notar las diferencias, en cuanto a lo anterior ya que si usáramos paréntesis para la siguiente situación –(-3) = +3,  y esto no es cierto para valor absoluto:

 

 

Ejemplo :

 

Simplifique -|-3|.

 

Dado -|-3|, lo primero que debe trabajarse es la parte de valor absoluto; aplicando lo que aprendimos antes, dado que |-3|=+3 tenemos que

 

–| –3 | = –(+3)

 

Lo que puede leerse como el opuesto de +3, y dado que el opuesto de 3 es -3 nuestro resultado es

 

| –3 | = –(3) = –3

 

Como vemos nuestro resultado si tomamos el opuesto del valor absoluto, obtendremos un número negativo.

 

 

 

Aquí tenemos algunos ejemplos más de simplificaciones:

 

  • Simplifcar | –8 |.

 

| –8 | = 8 Copyright © Elizabeth Stapel 2000-2011 All Rights Reserved

 

  • Simplifcar | 0 – 6 |.

 

 

| 0 – 6 | = | –6 | = 6

 

  • Simplifcar | 5 – 2 |.

 

| 5 – 2 | = | 3 | = 3

 

  • Simplifcar | 2 – 5 |.

 

| 2 – 5 | = | –3 | = 3

 

  • Simplifcar | 0(–4) |.

 

| 0(–4) | = | 0 | = 0

 

 

 

¿Porqué el valor absoluto de 0 es 0?

 

Pues pregúntense: ¿A que distancia se encuentra cero de 0? Cero unidades no?

 

Así que | 0 | = 0

 

 

 

  • Simplifcar | 2 + 3(–4) |.

 

| 2 + 3(–4) | = | 2 – 12 | = | –10 | = 10

 

  • Simplifcar –| –4 |.

 

–| –4| = –(4) = –4

 

  • Simplifcar –| (–2)2 |.

 

–| (–2)2 | = –| 4 | = –4

 

  • Simplifcar –| –2 |2

 

–| –2 |2 = –(2)2 = –(4) = –4

 

  • Simplifcar (–| –2 |)2.

 

(–| –2 |)2 = (–(2))2 = (–2)2 = 4

 

 

 

 


 

Trabajo con Variables

 

 

 

Cuando el número “dentro” del valor absoluto (llamado argumento del valor absoluto) es positivo, no se cambia el signo al calcular el valor absoluto. Pero cuando el argumento es negativo, cambiamos el signo. Este detalle que pudimos observar en los anteriores ejemplos nos servirá ahora para el trabajo que deberemos afrontar.

 

 

 

Al trabajar con variables, no se puede decir de antemano el signo del número que la variable representa. Por ejemplo dada la variable x necesitamos más información para decidir si el valor que la variable puede tomar es positivo o negativo, deberemos entonces considerar los dos casos.

 

Si x>0 (o sea si x es positiva), entonces el valor no cambiará al tomar el valor absoluto. Poe ejemplo si tenemos x = 2, entonces | x | = | 2 | = 2 = x. De hecho para cualquier valor positivo (o cero) el signo se mantendrá, así que:

 

Para x > 0, | x | = x

 

En cambio si x<0 (esto significa que x es negativo) entonces se cambiará el signo cuando se tome el valor absoluto. Por ejemplo si  x = –4, entonces | x | = | –4 | = + 4 = –(–4) = –x.  De hecho para cualquier valor negativo de x, el signo deberá ser cambiado así que:

 

Para x < 0, | x | = –x

 

En este caso el signo negativo no representa un valor a la izquierda del cero, sino un cambio en el signo de lo que sea que se tenía originalmente. Este “-“ no significa el valor es negativo, sino que “se ha cambiado el signo del valor original”

 

¿Debe entonces entenderse que –x es negativo?

 

 

No, x no tiene que ser negativo hablamos del OPUESTO de x .

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