Kings Canyon

Article Index

Triángulos

 

 

 

Que tanto sabes de triángulos


Los triángulos son polígonos de tres lados y tres ángulos, esto es; son figuras planas de tres lados. ¿Pero que son exactamente esto que llamamos lados? Bueno afirmaremos que los lados son segmentos de recta, es más los extremos de dichos segmentos serán llamados vértices de nuestro polígono. Trataremos de conservar el hecho de que tanto las rectas, como semirrectas segmentos y ángulos son conceptos fundamentales cuya definición no se dará, pues serán tratados de igual forma que los axiomas; para ello supondremos que el lector ya conoce dichos elementos.

Regresando a los triángulos, vamos a reconocer innumerable cantidad de formas y tamaños para dichas figuras, pero vamos a reconocer también que todas ellas poseen características en común y a partir de ellas vamos a trabajar.

 

Clasificación de Triángulos según sus lados

 




Como dijimos anteriormente los triángulos poseen 3 lados, todos ellos además; ¿A qué nos referimos entonces al hablar de clasificación? Pues bien, los triángulos pueden ser agrupados observando ciertas características en cuanto a la medida de sus lados, o sea; un triángulo puede tener todos sus lados de igual medida, o dos de igual medida y uno de distinto largo, o bien los tres lados de distinta medida, y no cabe otra posibilidad, todos los triángulos quedarán en una de éstas 3 categorías.
A ello nos referimos con clasificación según sus lados, ahora pasemos a los nombres de las mismas.

EQUILÁTEROS: Son los triángulos cuyos lados tienen todos la misma medida; otra característica importante de los mismos es que sus ángulos también miden lo mismo.

ISÓSCELES: Triángulos que tienen dos lados de igual medida, son además isoángulos, o sea; también tienen 2 ángulos que miden lo mismo, de hecho éstos son los ángulos correspondientes a los lados de igual medida.

ESCALENOS: Nos referimos ahora a la tercera opción, los triángulos cuyos lados tienen distinta medida, y por tanto sus ángulos también son de distinta amplitud.

¿Es ésta la única clasificación que existe en los triángulos? Pues no; existe una segunda clasificación que los agrupa según sus ángulos, y a ella vamos.

Clasificación de Triángulos según sus Ángulos




Según sus ángulos los triángulos pueden ser clasificados como: Acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Para ello quizás sea bueno recordar a qué nos referimos.
Los ángulos se separan en agudos, rectos y obtusos, entre otros (también existen los ángulos llanos y completos, de 180º y 360º respectivamente) junto con otras clasificaciones que seguramente se podrán llegar a encontrar. Lo importante para nosotros radica en éstos 3 tipos de ángulos que llevan a nuestra clasificación.
Pero ¿Cómo distinguimos dichos ángulos?
Los ángulos agudos son aquellos cuya amplitud es menor a 90º, mientras que si un ángulo mide exactamente 90º se llama ángulo recto, para el caso de que un ángulo supere los 90º estamos en presencia de un ángulo obtuso. Pero volvamos a los triángulos, ¿Cómo los clasificamos entonces?
Bien, decimos que un triángulo es:

ACUTÁNGULO: Si tiene los 3 ángulos Agudos.

RECTÁNGULO: Si posee un ángulo Recto.

OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo Obtuso    

Pues bien, éstas son las 2 clasificaciones que vamos a tomar en cuanto a triángulos, cabe aclarar que son independientes una de otra, o sea podemos tener triángulos que se clasifiquen de una forma según sus lados y de cualquier otra según sus ángulos, a que me refiero: Pues bien, tomemos por ejemplo el caso de un triángulo isósceles, el mismo puede ser acutángulo (si sus 3 ángulos son agudos) rectángulo (si tiene un ángulo recto, y por tanto los otros 2 de 45 grados) o bien ser obtusángulo (con un ángulo obtuso).
Las clasificaciones son entonces, independientes una de otra.


Propiedades importantes de los triángulos




Pues una de las principales propiedades de todo triángulo, y hecho fundamental que nos permitirá llegar a muchas conclusiones dice que: "La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180º" o un ángulo llano.
Ésta propiedad nos permite trabajar con triángulos llegando a interesantes conclusiones; si bien existen demostraciones sobre ésta propiedad, yo prefiero realizar con mis alumnos un sencillo ejercicio que nos permite visualizar éste hecho de forma inequívoca, tangible e irrefutable, sin pasar a tediosos cálculos y demostraciones.

Tómese para ello un trozo de cartulina y recorten un triángulo de cualquier forma y tamaño, realmente no importa nada de ésto, (siempre es recomendable que se tome un caso lo más general posible ya que si el triángulo es equilátero, alguien puede concluir que la propiedad se limita a éste caso en particular)
Dibujen luego con un lápiz marcando los ángulos del triángulo, resaltando cuáles son, (éste paso no tiene que ver con el ejercicio en sí, pero facilita mucho el proceder más adelante)
Una vez hecho ésto recorten el triángulo de forma que obtengan los 3 ángulos, y péguenlos uno al lado del otro, de manera que los vértices de los 3 coincidan y que los lados estén pegados uno al otro. ¿Que Obtenemos?
Un ángulo llano, sin importar qué triángulo hallamos tomado.


Cómo es posible que mi explicación deje dudas, o simplemente por el hecho de que una imagen vale más que mil palabras, dejo un video ilustrativo que nos indica el proceder.

 

 


Propiedades de los

Triángulos

 

Hemos formulado entonces una de las principales propiedades de los triángulos. Pero ¿Porqué es importante?
Bien, vamos a trabajar con esta propiedad para identificar algunos hechos.

Triángulo Equilátero.


En un triángulo equilátero, los lados y ángulos son congruentes, o sea de la misma medida; y aunque eso no parezca de mayor importancia, vamos a notar que puede sernos de mucha utilidad. Veamos, si los ángulos del triángulo deben medir lo mismo, y la suma de los tres debe ser exactamente igual a 180°, esto implica que cada ángulo debe medir 180/3 o sea 60°, sin importar la medida de los lados!.
Concluimos entonces que los triángulos equiláteros tienen tres ángulos de 60 grados cada uno.

Triángulo Isósceles.


Bueno, los triángulos isósceles no tienen una propiedad tan completa, en cambio sabemos que tienen 2 ángulos de igual medida y uno de distinta medida, que podemos concluir entonces; pues si se nos diera como dato la medida de uno de los ángulos, estaríamos en condiciones de establecer la medida de los otros dos, sin mayor complicación.
Veamos como:

Vamos a suponer que el ángulo que nos dan como dato es uno de los congruentes, pues bien sabemos que el otro mide lo mismo, y sabemos que la suma de los 3 es 180 así que solamente debemos sumar los ángulos conocidos y restarle el resultado a 180 para conocer los 3 ángulos. Un ejemplo:

El ángulo A es de 40° y es congruente con B, pues entonces B=40°
Si sumamos los dos el total es 80° que al restar a 180 obtenemos como resultado 100° que es la medida de C
A+B+C=180°

Supongamos ahora que el ángulo que nos dan es el distinto, no será problema, pues si restamos 180 menos el dato obtenemos un número que sabemos que es el correspondiente a la suma de los dos ángulos iguales, así que procedemos a dividir este resultado entre 2 para obtener la medida de los ángulos congruentes. Ejemplo:

El ángulo B=70° siendo A y C congruentes.
Entonces 180 - 70 = 110 con lo cual sabemos que A+C=110 pero además A=C por tanto 110/2=55 con lo cual A=C=55°

Pueden notar que no hay otro caso posible, ni otra solución distinta, o sea podemos saber la medida de todos los ángulos con saber la medida de uno de ellos.

Triángulo Escaleno.


Aquí el tema es un poco distinto, al ser los tres ángulos de distinta medida las conclusiones no son tan fáciles, aquí vamos a necesitar al menos la medida de 2 ángulos para poder encontrar el tercero, podemos igualmente usar esta propiedad que en varias situaciones puede ser muy útil como irán viendo en la medida que trabajen con triángulos.

 

 


Puntos y Rectas Notables

de un Triángulo

 


A la hora de estudiar geometría y trabajar con triángulos, no podemos pasar por alto la posibilidad de realizar ciertos trazados y encontrar algunas propiedades notables.

Bisectriz de un ángulo.


La bisectriz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo, y si bien ésta es una definición muy elegante, nos va a resultar más útil saber que es la recta que divide a un ángulo en 2 de igual medida.
Éste es el procedimiento para el trazado de la Bisectriz:



Dado que un triángulo posee tres ángulos, podemos entonces trazar 3 bisectrices, lo curioso es que las 3 bisectrices concurren en un punto, o sea; las tres bisectrices determinan un único punto que se llama Incentro, éste punto que es siempre interior al triángulo, tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscripta al triángulo (la misma es tangente a los lados del triángulo).

Mediatriz de un segmento


La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento, en particular nos será útil saber que es la recta perpendicular por el punto medio del segmento y ya que los lados de un triángulo son segmentos, podemos trazar tres mediatrices.

Éste es el procedimiento para el trazado de la Mediatriz:




Ya no será tan raro reconocer que las 3 mediatrices concurran en un punto, el mismo se llama Circuncentro, y es el centro de la circunferencia Circunscripta, o sea la circunferencia que contiene a los vértices del triángulo.

Medianas.


Las medianas son segmentos cuyos extremos son los vértices del triángulo y el punto medio del lado opuesto del triángulo, nuevamente concurren y el punto en cuestión se llama Baricentro, el Baricentro es el centro de masa del triángulo y tiene la propiedad de encontrarse a 2/3 de los vértices del triángulo tomando la medida sobre la mediana. Esto es, el Baricentro está al doble de distancia del vértice que del centro de el lado opuesto, en la mediana.
El punto medio de los lados del triángulo, vale aclarar, se determina mediante el trazado de la mediatriz de los lados.

Alturas



Las alturas son segmentos perpendiculares a los lados del triángulo que contienen al vértice opuesto, las mismas concurren en el Ortocentro que es el último punto notable que veremos.

 

 

Algunas propiedades del Ortocentro son las siguientes:

El Ortocentro de un triángulo obtusángulo es  exterior al triángulo

El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto
El Ortocentro de un triángulo acutángulo es interior al triángulo

Additional information