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Unión de Conjuntos

 

 

 

La unión de 2 conjuntos A y B se nota como A ∪ B y es el conjunto de todos los elementos de A y B.
Ejemplo
{1, 2} ∪ {rojo, blanco} ={1, 2, rojo, blanco}.
Algunas propiedades básicas de la unión:

* A ∪ B = B ∪ A.
* A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
* A ⊆ (A ∪ B).
* A ∪ A = A.
* A ∪ ∅ = A.
* A ⊆ B if si y solo si A ∪ B = B.



Intersección de Conjuntos



Se diría que es el nuevo conjunto determinado por los elementos que los dos elementos primitivos tienen en común. La intersección de A y B, notado como A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecena a A y a B. Si tenemos que A ∩ B = ∅ entonces se dice que A y B son disjuntos.
Ejemplos

* {1, 2} ∩ {rojo, blanco} = ∅.
* {1, 2, verde} ∩ {rojo, blanco, verde} = {verde}.
* {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Algunas propiedades básicas de las intersecciones:

* A ∩ B = B ∩ A.
* A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
* A ∩ B ⊆ A.
* A ∩ A = A.
* A ∩ ∅ = ∅.
* A ⊆ B if si y solo si A ∩ B = A.

 

Complemento de un Conjunto



El complemento relativo de B y A (también llamado diferencia teórica de A y B), notada como A\B o (A - B) es el conjunto de todos los elementos que son miembros de A pero no de B. En algunos casos todos los conjuntos a trabajar serán subconjuntos de un conjunto particular llamado conjunto universal U. En esos casos U\A es llamado el complemento absoluto y simplemente complemento de A y se nota A'

Ejemplos
{1, 2} \ {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Algunas propiedades básicas del complemento
* A \ B ≠ B \ A.
* A ∪ A′ = U.
* A ∩ A′ = ∅.
* (A′)′ = A.
* A \ A = ∅.
* U′ = ∅ and ∅′ = U.
* A \ B = A ∩ B′.

Una extensión del complemento es la diferencia simétrica, definida para conjuntos A y B

A Δ B = (A \ B) U (B \ A). Un ejemplo de diferencia simétrica de {7,8,9,10} y {9,10,11,12} es el conjunto {7,8,11,12}.

 

Producto Cartesiano de Conjuntos



Un nuevo conjunto puede ser construido mediante la asociación de cada elemento de un conjunto con los elementos de otro. El produclto cartesiano de A y B, notado como A x B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tal que a es elemento de A y b es elemento de B.
Ejemplo:
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Algunas propiedades básicas del producto cartesiano son:
* A × ∅ = ∅.
* A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
* (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

Si A y B son conjuntos infinitos.

* | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.



Aplicaciones
 


La teoría de conjuntos es vista como la cimentación desde donde deriva la matemática. Por ejemplo, estructuras en álgebra abstracta, tales como grupos, campos y anillos, son conjuntos cerrados sobre una o más operaciones.
Una de las aplicaciones de la teoría de conjuntos es ca construcción de relaciones. Una relación entre un dominio A y un codominio B es un subconjunto del producto cartesiano de A x B. Dado este concepto, rápidamente se puede ver que el conjunto F de todos los pares ordenados (x, x²) donde x es real, es bastante familiar. Tiene como dominio el conjunto R y como codominio al mismo R, porque el conjunto de los cuadrados es subconjunto del conjunto de los reales. Si colocamos esto en notación funcional, la relación se convierte en f(x)= x². La razón de que estas dos notaciones sean equivalentes es que para cualquier valor real dado donde la función está definida su correspondiente par ordenado (x,x²) es miembro de F.



La teoría Axiomática


La necesidad de la teoría axiomática radica en las limitaciones que existen en la definición de conjunto y en la existencia de algunas "paradojas" amplamente trabajadas por algunos de los más importantes matemáticos.
La paradoja de Russel Muestra que el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos no existe.
La paradoja de Cantor Muestra que el conjunto de todos los conjuntos no puede existir.

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