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Teoría de Conjuntos

 

 

La Teoría de conjuntos, es una importante rama de las matemáticas creada por el matemático alemán Georg Cantor, su estudio e importancia es fundamental en el estudio de la matemática, pilar fundamental del tema funciones entre otroste

Un conjunto es una colección de objetos distintos y no ordenados, (que podemos llamar elementos) y es considerado un objeto en sí mismo. Los conjuntos son considerados uno de los conceptos matemáticos más fundamentales. Aunque en realidad no el término no fue inventado hasta finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos es parte ineludible en la matemática de hoy y puede ser usada como base para casi cualquier concepto matemático actual. Una de las herramientas principales para enseñar conjuntos son los diagramas de Venn más que nada por su utilidad visual.

Se atribuye a Georg Cantor la invención de la teoría de conjuntos, y dió la anterior definición al comienzo de su libro Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser números, personas, letras del alfabeto, otros conjuntos, etc. Los conjuntos son notados por convención con letras mayúsculas y podemos afirmar que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si contienen precisamente los mismos elementos.
Como se discutirá, la definición anterior resulta inadecuada para las matemáticas formales; en vez de eso la noción de conjunto se toma como un concepto primitivo no definido en la teoría axiomática de conjuntos, y sus propiedades son definidas por los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Las propiedades básicas de los conjuntos son que tienen elementos, y que 2 conjuntos con iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.



Describiendo Conjuntos

 


Existen dos formas de describir un conjunto o especificar sus elementos. La primera es por comprensión, usando una regla o descripción que los defina:
A es el conjunto cuyos elementos son los primeros cuatro números positivos.
B es el conjunto de los colores de la bandera Francesa.

La segunda por extensión, esto es una lista de cada uno de los elementos. Una definición por extensión aparecerá rodeando con llaves los elementos del conjunto.
C = { 4, 2, 1, 3 }
D = {azul, blanco, rojo}
Algunos detalles importantes son: cada elemento de un conjunto debe ser único, no puede haber dos idénticos y el orden de los mismos es irrelevante (a diferencia de las sucesiones o series) porque la definición por extensión sólo refiere al hecho de que cada elemento listado pertenece al conjunto. Para conjuntos con muchos elementos, esta notación puede ser abreviada usando puntos suspensivos ... Por ejemplo el conjunto de los primeros mil positivos sería { 1, 2, 3,..., 1000} donde los paréntesis indican que la lista continúa siguiendo el patrón obvio. También se usan puntos suspensivos cuando el conjunto tiene infinitos elementos lo que sería para el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, ...}. La notación con llaves también es usada para los conjuntos definidos por comprensión, en éste caso las llaves significan el conjunto de "todos..." aunque su desarrollo es un poco mas complejo. Por ejemplo el conjunto F de los 20 menores naturales son
F= {n ∈ N/ 0 < n < 21}
En esta notación la barra / significa "tal que" (también se usa ":"). Cualquiera de las dos formas se pueden usar indistintamente; por ejemplo en los casos anteriores A=C y B=D.

Pertenencia

 


La relación clave entre conjuntos es la pertenencia, (cuando un conjunto es elemento de otro). Si a pertenece a B, se indica A ∈ B, mientras que si C no pertenece a B entonces C ∉ B. Por ejemplo en los conjuntos anteriores podemos decir que:
4 ∈ A pero 39 ∉ F.


Subconjuntos

 


Si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B, se dice que A es subconjunto de B y se nota A ⊆ B (también se dice que a está contenido en B). De forma equivalente podríamos decir que B ⊇ A o que B contiene a A. La relación entre conjuntos definida de ésta forma se llama inclusión. Si A es subconjunto de B pero no es igual se llama a A subconjunto propio de B (A ⊂ B).
Ejemplo:
El conjunto de todos los hombres es subconjunto propio del conjunto de las personas.
{ 1 , 3 } ⊂ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Otro conjunto importante en la teoría de conjuntos es el conjunto vacío ∅ (conjunto sin elementos) una propiedad importante del mismo es que el conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos. También es importante detallar que cualquier conjunto es subconjunto de sí mismo, esta propiedad resulta muy útil para demostrar que 2 conjuntos son iguales.
A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

 

 


 

 

Conjunto de Partes

 

 

 

El conjunto de partes de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. Esto incluye los subconjuntos formados por todos los miembros de S y el conjunto vacío. Si un conjunto finito S tiene cardinal n, entonces su conjunto de partes tiene cardinal 2n. La notación usada para el conjunto de partes es P(S).
Si un conjunto S es infinito (numerable o no numerable) entonces su conjunto de partes siempre es no numerable. Es más, si S es un conjunto, entonces jamás se puede establecer una biyección entre S y P(S). O en otras palabras P(S) es siempre estrictamente mayor que S.

Como ejemplo el conjunto de partes de {1, 2, 3} es {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}. La cardinalidad del conjunto original es 3, y la del conjunto de partes es 2³= 8.

Cardinalidad

 


La cardinalidad |S| de un conjunto es "el número de elementos de S". Por ejemplo, como la bandera de Francia tiene tres colores, |B|= 3.
Existe un conjunto único que no contiene elementos y cuyo cardinal es 0, éste es llamado conjunto vacío (o conjunto nulo) y se nota por el símbolo ∅. Por ejemplo el conjunto de todos los cuadrados de 3 lados es vacío. Aunque parezca trivial la existencia de este conjunto es fundamental para la teoría axiomática de conjuntos.
Algunos conjuntos tienen cardinalidad infinita. El conjunto de los números naturales por ejemplo, es más algunos cardinales infinitos son mayores que otros. Por ejemplo, el conjunto de los números reales tiene un cardinal mayor que el conjunto de los números naturales. Sin embargo se puede demostrar que la cantidad de puntos en una línea recta tiene el mismo cardinal que cualquier segmento de ella, o que el plano, o que cualquier espacio euclidiano de dimensiones finitas.

Conjuntos Especiales

 


Existen algunos conjuntos que tienen gran importancia matemática y que se nombran tan regularmente en la teoría de conjuntos que tienen nombres especiales y se adoptaron convenciones especiales para referirse a ellos. Alguno de ellos son:

P que es el conjunto de los números primos
N conjunto de los números Naturales
Z conjunto de los números Enteros.
Q conjunto de los números Racionales
R conjunto de los números Reales.
C conjunto de los números Complejos

Cualquiera de los anteriores tiene infinitos elementos, y cada uno de ellos puede considerarse como un subconjunto de los siguientes en la lista.

Operaciones Básicas

Existen algunas operaciones Básicas que permiten construir conjuntos nuevos a partir de otros dados.

 


 

 

Unión de Conjuntos

 

 

 

La unión de 2 conjuntos A y B se nota como A ∪ B y es el conjunto de todos los elementos de A y B.
Ejemplo
{1, 2} ∪ {rojo, blanco} ={1, 2, rojo, blanco}.
Algunas propiedades básicas de la unión:

* A ∪ B = B ∪ A.
* A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
* A ⊆ (A ∪ B).
* A ∪ A = A.
* A ∪ ∅ = A.
* A ⊆ B if si y solo si A ∪ B = B.



Intersección de Conjuntos



Se diría que es el nuevo conjunto determinado por los elementos que los dos elementos primitivos tienen en común. La intersección de A y B, notado como A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecena a A y a B. Si tenemos que A ∩ B = ∅ entonces se dice que A y B son disjuntos.
Ejemplos

* {1, 2} ∩ {rojo, blanco} = ∅.
* {1, 2, verde} ∩ {rojo, blanco, verde} = {verde}.
* {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Algunas propiedades básicas de las intersecciones:

* A ∩ B = B ∩ A.
* A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
* A ∩ B ⊆ A.
* A ∩ A = A.
* A ∩ ∅ = ∅.
* A ⊆ B if si y solo si A ∩ B = A.

 

Complemento de un Conjunto



El complemento relativo de B y A (también llamado diferencia teórica de A y B), notada como A\B o (A - B) es el conjunto de todos los elementos que son miembros de A pero no de B. En algunos casos todos los conjuntos a trabajar serán subconjuntos de un conjunto particular llamado conjunto universal U. En esos casos U\A es llamado el complemento absoluto y simplemente complemento de A y se nota A'

Ejemplos
{1, 2} \ {1, 2} = ∅.
{1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Algunas propiedades básicas del complemento
* A \ B ≠ B \ A.
* A ∪ A′ = U.
* A ∩ A′ = ∅.
* (A′)′ = A.
* A \ A = ∅.
* U′ = ∅ and ∅′ = U.
* A \ B = A ∩ B′.

Una extensión del complemento es la diferencia simétrica, definida para conjuntos A y B

A Δ B = (A \ B) U (B \ A). Un ejemplo de diferencia simétrica de {7,8,9,10} y {9,10,11,12} es el conjunto {7,8,11,12}.

 

Producto Cartesiano de Conjuntos



Un nuevo conjunto puede ser construido mediante la asociación de cada elemento de un conjunto con los elementos de otro. El produclto cartesiano de A y B, notado como A x B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tal que a es elemento de A y b es elemento de B.
Ejemplo:
{1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Algunas propiedades básicas del producto cartesiano son:
* A × ∅ = ∅.
* A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
* (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

Si A y B son conjuntos infinitos.

* | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.



Aplicaciones
 


La teoría de conjuntos es vista como la cimentación desde donde deriva la matemática. Por ejemplo, estructuras en álgebra abstracta, tales como grupos, campos y anillos, son conjuntos cerrados sobre una o más operaciones.
Una de las aplicaciones de la teoría de conjuntos es ca construcción de relaciones. Una relación entre un dominio A y un codominio B es un subconjunto del producto cartesiano de A x B. Dado este concepto, rápidamente se puede ver que el conjunto F de todos los pares ordenados (x, x²) donde x es real, es bastante familiar. Tiene como dominio el conjunto R y como codominio al mismo R, porque el conjunto de los cuadrados es subconjunto del conjunto de los reales. Si colocamos esto en notación funcional, la relación se convierte en f(x)= x². La razón de que estas dos notaciones sean equivalentes es que para cualquier valor real dado donde la función está definida su correspondiente par ordenado (x,x²) es miembro de F.



La teoría Axiomática


La necesidad de la teoría axiomática radica en las limitaciones que existen en la definición de conjunto y en la existencia de algunas "paradojas" amplamente trabajadas por algunos de los más importantes matemáticos.
La paradoja de Russel Muestra que el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos no existe.
La paradoja de Cantor Muestra que el conjunto de todos los conjuntos no puede existir.

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