Teoría de Conjuntos

 

Teoría de Conjuntos

 

 

La Teoría de conjuntos, es una importante rama de las matemáticas creada por el matemático alemán Georg Cantor, su estudio e importancia es fundamental en el estudio de la matemática, pilar fundamental del tema funciones entre otroste

Un conjunto es una colección de objetos distintos y no ordenados, (que podemos llamar elementos) y es considerado un objeto en sí mismo. Los conjuntos son considerados uno de los conceptos matemáticos más fundamentales. Aunque en realidad no el término no fue inventado hasta finales del siglo XIX, la teoría de conjuntos es parte ineludible en la matemática de hoy y puede ser usada como base para casi cualquier concepto matemático actual. Una de las herramientas principales para enseñar conjuntos son los diagramas de Venn más que nada por su utilidad visual.

Se atribuye a Georg Cantor la invención de la teoría de conjuntos, y dió la anterior definición al comienzo de su libro Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser números, personas, letras del alfabeto, otros conjuntos, etc. Los conjuntos son notados por convención con letras mayúsculas y podemos afirmar que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si contienen precisamente los mismos elementos.
Como se discutirá, la definición anterior resulta inadecuada para las matemáticas formales; en vez de eso la noción de conjunto se toma como un concepto primitivo no definido en la teoría axiomática de conjuntos, y sus propiedades son definidas por los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Las propiedades básicas de los conjuntos son que tienen elementos, y que 2 conjuntos con iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.



Describiendo Conjuntos

 


Existen dos formas de describir un conjunto o especificar sus elementos. La primera es por comprensión, usando una regla o descripción que los defina:
A es el conjunto cuyos elementos son los primeros cuatro números positivos.
B es el conjunto de los colores de la bandera Francesa.

La segunda por extensión, esto es una lista de cada uno de los elementos. Una definición por extensión aparecerá rodeando con llaves los elementos del conjunto.
C = { 4, 2, 1, 3 }
D = {azul, blanco, rojo}
Algunos detalles importantes son: cada elemento de un conjunto debe ser único, no puede haber dos idénticos y el orden de los mismos es irrelevante (a diferencia de las sucesiones o series) porque la definición por extensión sólo refiere al hecho de que cada elemento listado pertenece al conjunto. Para conjuntos con muchos elementos, esta notación puede ser abreviada usando puntos suspensivos ... Por ejemplo el conjunto de los primeros mil positivos sería { 1, 2, 3,..., 1000} donde los paréntesis indican que la lista continúa siguiendo el patrón obvio. También se usan puntos suspensivos cuando el conjunto tiene infinitos elementos lo que sería para el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, ...}. La notación con llaves también es usada para los conjuntos definidos por comprensión, en éste caso las llaves significan el conjunto de "todos..." aunque su desarrollo es un poco mas complejo. Por ejemplo el conjunto F de los 20 menores naturales son
F= {n ∈ N/ 0 < n < 21}
En esta notación la barra / significa "tal que" (también se usa ":"). Cualquiera de las dos formas se pueden usar indistintamente; por ejemplo en los casos anteriores A=C y B=D.

Pertenencia

 


La relación clave entre conjuntos es la pertenencia, (cuando un conjunto es elemento de otro). Si a pertenece a B, se indica A ∈ B, mientras que si C no pertenece a B entonces C ∉ B. Por ejemplo en los conjuntos anteriores podemos decir que:
4 ∈ A pero 39 ∉ F.


Subconjuntos

 


Si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B, se dice que A es subconjunto de B y se nota A ⊆ B (también se dice que a está contenido en B). De forma equivalente podríamos decir que B ⊇ A o que B contiene a A. La relación entre conjuntos definida de ésta forma se llama inclusión. Si A es subconjunto de B pero no es igual se llama a A subconjunto propio de B (A ⊂ B).
Ejemplo:
El conjunto de todos los hombres es subconjunto propio del conjunto de las personas.
{ 1 , 3 } ⊂ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Otro conjunto importante en la teoría de conjuntos es el conjunto vacío ∅ (conjunto sin elementos) una propiedad importante del mismo es que el conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos. También es importante detallar que cualquier conjunto es subconjunto de sí mismo, esta propiedad resulta muy útil para demostrar que 2 conjuntos son iguales.
A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.

 

 

Additional information