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Sistemas de Ecuaciones

Lineales

 

Los sistemas de Ecuaciones lineales consisten en un conjunto de ecuaciones que tienen las mismas incógnitas, las soluciones a estas ecuaciones deben ser las mismas para todas las ecuaciones.

 



Podríamos dar significado a un sistema recordando lo siguiente; como hemos visto anteriormente una ecuación del tipo y= ax+b es una ecuación la misma representa una recta en el plano y puede escribirse como -ax+y = b obteniendo así una ecuación con dos incógnitas. De esta forma podemos razonar que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas representa a dos rectas en el plano.

Sabemos que si tenemos dos rectas en un plano, únicamente pueden existir 3 posiciones relativas entre ellas (quien guste puede verificarlo).
Dos rectas pueden ser paralelas, secantes o bien coincidentes, de igual forma pensar en una solución que sirva para las dos ecuaciones, significa pensar en un punto que pertenezca tanto a la primera recta como a la segunda.

De lo anterior, podemos concluir que un sistema puede:

a) No tener solución (recordar que las rectas paralelas no tienen puntos en común, y por tanto no habrá solución común para ambas ecuaciones)

b) Tener una única solución; las rectas secantes tienen un único punto en común que será nuestra solución buscada.

c) Tener infinitas soluciones, o sea; si dos rectas coinciden, todos los puntos de la primera también son puntos de la segunda y por lo tanto los infinitos puntos de las rectas son soluciones.

Cada uno de los casos anteriores tiene un nombre en particular, los sistemas se conocen como Incompatibles (caso a), Compatibles determinados (caso b) o Compatibles indeterminados (caso c).

Resolución de un sistema de Ecuaciones Lineales

Existen varios métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, veamos algunos de ellos:

 

Método Gráfico.

 

Consiste en representar gráficamente, las dos ecuaciones en un mismo par de ejes, para de esta forma poder encontrar la solución, es un método limitado, pues funciona para sistemas de 2 con 2 (dos ecuaciones con dos incógnitas) o 3 con 3, (tres rectas en el espacio) pero no funciona para sistemas mayores, pues no podemos representar gráficamente más de 3 dimensiones.

Método por sustitución

 

El método por sustitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y luego sustituir su valor en la otra ecuación, el mismo funciona bastante bien, aunque no es el preferido de estudiantes por ser un poco mas complejo.

 





Aqui se realizó la sustitución de x por el resultado que habíamos hallado antes. Realizando cálculos:







Luego sustituimos el resultado en una de las ecuaciones..

 

 

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