Sistemas de Ecuaciones Lineales

 

Aqui queda un material para aquellas personas que quieran estudiar acerca de los sistemas de ecuaciones, sus métodos de resolución y varios ejercicios para realizar, están en formato pdf para que descarguen.

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Valor Absoluto

 

EL concepto de valor absoluto tiene varios usos, pero es un concepto un poco complejo, que llega a comprenderse cuando se necesita explicar  algunos acontecimientos.

 

Existen varias definiciones técnicas de valor absoluto, aunque es probable que nunca llegues a necesitarlas, en el estudio de la matemática si es probable que necesites al menos una noción general del concepto de valor absoluto.

 

Por ahora diremos que el valor absoluto de un número es su distancia desde el cero.

 

Análisis Combinatorio

 

 

 

 

La teoría combinatoria toma sus conceptos fundamentales a partir de la teoría de conjuntos y se forma como un estudio sistemático orientado a contar sucesos, o combinaciones de los mismos.
Debemos entonces tener claros dichos conceptos e ideas y formular algunas más que funcionarán como base para la construcción de nuestro conocimiento.

Para poder continuar con nuestro procedimiento se considera necesario introducir el concepto de factorial, el factorial de n notado por n! es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a él, en otras palabras multiplicaremos los números desde 1 hasta n y el resultado será el factorial de n. Vale aclarar que el factorial de 0 es 1. Ésto se explica más adelante para el caso de los arreglos, pues la lógica es similar.
Esta idea surge a partir de uno de los primeros conceptos que trabajaremos, que es el de permutación.

Dado un conjunto N de n elementos llamaremos permutaciones de n elementos a todo conjunto que podemos formar cambiando el orden a los elementos de n. Éste valor se calcula como el factorial de n (n!).

$5! =5.4.3.2.1 $


Arreglo u Orden. (también se le conoce como Variaciones)

Llamaremos arreglo u orden n a todo conjunto ordenado de n elementos.

 

Observemos que, de acuerdo con esta definición, dos arreglos son iguales cuando tienen los mismos elementos, en el mismo orden y ésto no es menor, pues estamos diciendo que 2 subconjuntos que poseen los mismos elementos en distinto orden, representan arreglos distintos.
Tomemos ahora un conjunto M de m elementos.
Los arreglos de orden n (con n menor o igual a m) que pueden formarse con los elementos de M se llamarán arreglos de m elementos tomados de n, en otras palabras formaremos subconjuntos ordenados de n elementos a partir de los m que posee nuestro conjunto inicial, a éste número es al que nos referimos cuando hablamos de arreglos.

El número de estos arreglos, que no depende del conjunto que se tome sino de los valores de m y n, se indica como A^m_n o en algunos textos A_m, n.
Deberemos ahora realizar algunas especificaciones que nos permitirán calcular este valor.

Arreglos de Orden 0


El único arreglo de orden 0 es el conjunto vacío, por lo tanto A^m_0 = 1, para darle más significado a esto debemos recordar que el conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos, por tanto podemos formalmente (aunque no resulte tan evidente) hablar de un subconjunto aunque no posee elementos existe y por tanto hay que contarlo como arreglo.


Arreglos de orden n>0


Puede formarse a partir de los de orden anterior (que es lo que se llama un método por recurrencia).
Para demostrarlo, supongamos que se han formado los arreglos de orden n-1, a partir de éstos formaremos los arreglos de orden n, para ello completamos cada arreglo de orden n-1, agregándole como último, cada uno de los elementos del conjunto M, sin repetir ninguno y que son m -(n-1)=m-n+1
Si presentamos como ejemplo m=4, M={a,b,c,d} y n=3, los Arreglos de orden 2 serán:

(agregando el tercer elemento)
________m-n+1
ab         abc      abd
ac         acb        acd
ad       adb      adc
ba       bac      bad
bc       bca      bcd
bd       bda      bdc
ca         cab      cad
cb         cba      cbd
cd         cda      cdb
da         dab      dac
db         dba      dbc
dc         dca      dcb

 

 

tenemos así una fórmula por recurrencia, de Esta manera podemos trabajar con una notación más compacta ayudándonos de la notación factorial

 

$A^4_3 = \frac{4!}{(4-3)!}$

 

La fórmula se cumple también para n=0 y n=1.


Combinaciones

 

Llamaremos combinaciones de m elementos tomados de a n (m>=n) a todos los conjuntos de n elementos que pueden formarse eligiendo éstos entre los m.
Esto es los subconjuntos de n elementos sacados de los m posibles. Como estos conjuntos no son ordenados, dos combinaciones son distintas si difieren en al menos un elemento, es útil aclarar que las combinaciones por este mismo hecho son menos que los arreglos.
El número de las combinaciones se indica por $C^m_n$
o (^0_n) y se calcula como $C^m_n = \frac{m!}{(m-n)!n!}$ , lo cual nos indica que las combinaciones son los arreglos sobre las permutaciones (recordemos que en las combinaciones el orden no es tomado en cuenta)

$C^m_n = \frac{A^m_n }{P_n}$

 

Combinaciones Complementarias



Cada combinación de n elementos deja fuera m-n elementos, con los que puede formarse otra combinación llamada complementaria de la primera.
El número de combinaciones complementarias es igual al número de combinaciones de orden n.

$C^m_{m-n} = C^m_n $

 

 


 

Formula de Stieffel

 

 

 

$C^m_n + C^m_{n-1} = C^{m+1}_n$


La anterior se puede demostrar usando las correspondientes fórmulas.

 

$\frac{m!}{(m-n)!n!} + \frac{m!}{(m-(n-1))!(n-1)!} $

 

$\frac{m!}{(m-n)!n!} + \frac{m!}{(m-n+1)! (n-1)!} $

 

$\frac{m!(m-n+1)! (n-1)! + m!(m-n)!n!}{(m-n)!n!(m-n+1)! (n-1)!} $

operando:

 

$\frac{m!(m-n+1)!(n-1)!(n+(m-n+1))}{(m-n)!n!(m-n+1)!(n-1)!}$

 

al hallar común denominador podemos reducir:

 

$\frac{m!(m-n)!(n-1)!(n+m-n+1)}{(m-n)!n!(m-n+1)!(n-1)!}$

 

de lo que nos queda

 

$\frac{m!(m+1)}{n!(m-n+1)!}$

 

que es de por sí:

 

$\frac{(m+1)!}{n!(m+1-n)!}$

 

$C^{m+1}_n$

con lo cual queda demostrado.

 

 

 

Se ha inaugurado

 

el Foro Matemático

 

Hemos agregado una nueva herramienta a nuestro sitio, el foro matemático, lugar donde ustedes podrán vincularse directamente, solicitar información, presentar problemas y trabajar con personas de todos los rincones las actividades que deseen.

Regístrense gratuitamente y comiencen a compartir esta nueva experiencia. Para ingresar, hagan click en el link que se encuentra en la barra superior con el nombre foro matemático.

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SALUDOS!!

Trigonometría

 

 

La trigonometría es la rama de la matemática que estudia los triángulos, en particular los triángulos rectángulos. La trigonometría trabaja con las relaciones que existen entre la medida de los lados de un triángulo y los ángulos del mismo utilizando funciones especiales llamadas funciones trigonométricas, que en general describen esas relaciones, aunque también se aplican a ángulos en general e incluso en física para el trabajo con ondas, las antiguas tablas trigonométricas nos daban acceso a los valores asociados a cada ángulo por medio de las funciones trigonométricas, incluso uno podía encontrarse ante la necesidad de interpolar valores, lo que añadía un desafío más al cálculo (o una complicación, según se vea).

Hoy por hoy la tarea es mucho más amena gracias a las calculadoras que nos entregan resultados casi instantáneos,  sin embargo la trigonometría se encuentra lejos de ser un área de estudios fácil para los estudiantes, a pesar de que se comienza a trabajar en su interacción con triángulos,  y a pesar de que su utilidad es bastante importante en muchos casos para variedad de cálculos y para una serie de oficios, en general se muestra como una enemiga de los alumnos.

Es considerada una máxima de la geometría (una ley bastante conocida) que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180º, con este conocimiento podemos conocer para cualquier triángulo la medida de todos sus ángulos ni bien conozcamos la medida de dos de ellos, o sea; si conocemos la medida de 2 ángulos de un triángulo, la medida del tercero se puede conocer aplicando la ley anterior.

Nuestro problema, es que no siempre se podrán conocer la medida de los ángulos, pero si por ejemplo la medida de algún lado, y algún ángulo y es allí donde las nociones que vamos a trabajar resultan útiles, es allí donde encontramos la verdadera utilidad a la trigonometría.
Si nosotros tuviéramos la medida de 2 lados en un triángulo rectángulo, simplemente aplicaríamos el teorema de Pitágoras y hallaríamos la medida del tercero, ahora si nuestro dato es la medida de un lado y la de un ángulo la solución es otra.

Nos centraremos en el trabajo con triángulos rectángulos, los lados de esta figura se llamarán catetos e hipotenusa. La hipotenusa es el lado de mayor medida, y es el que se opone al ángulo recto, los catetos son los otros dos lados. Si tomamos como referencia uno de los ángulos del triángulo ABC, digamos el A por ejemplo, al cateto que se opone al ángulo lo llamaremos cateto Opuesto, y al otro cateto lo llamaremos cateto adyacente (ver figura)

Por supuesto que el trabajo se enfocará en trigonometría plana y no trigonometría esférica, por ejemplo, dado nuestro ámbito de trabajo.

 

La función Seno

La función seno se define como la relación que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa

 

sen θ = cat op / hip

 

La función coseno

La función coseno se define como la relación que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa

 

cos θ= cat ady / hip

 

La función tangente

La función tangente se define como la relación que existe entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

 

tan(θ)= cat op / cat ady

 

Donde además θ representa la medida del ángulo elegido (en todos los casos).

 

Las recíprocas de éstas funciones trigonométricas son, la cosecante, la secante y la cotangente, respectivamente. Las funciones inversas se llaman arcoseno, arcososeno y arcotangente respectivamente. Existen relaciones entre éstas funciones que son llamadas identidades trigonométricas.


 

Identidades

trigonométricas.

 

 

La tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno de un ángulo

Nota: (se respetará la notación en inglés que es la que se usa en las calculadoras)

 

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.

 

 

De igual manera podemos representar las funciones recíprocas a partir de las ya definidas:

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.

 

 

La siguiente es llamada la identidad pitagórica y nos permite relacionar al seno y al coseno de un ángulo

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!

 

Suma de ángulos y sus respectivas relaciones

 

Seno \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,
Coseno \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,
Tangente \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
Arcseno \arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})
Arccoseno \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})
Arctangente \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)

 

 

En fin dejamos una tabla con  relaciones para que el lector las pueda usar

_________________________________________________________________________________________________________________

sinθ =    \sin \theta\ \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\ \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\    \frac{1}{\csc \theta}\ \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\
cosθ = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\    \cos \theta\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\    \frac{1}{\sec \theta}\ \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\
tanθ = \pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\    \tan \theta\ \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\ \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\    \frac{1}{\cot \theta}\
cscθ =    \frac{1}{\sin \theta}\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\    \csc \theta\ \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\ \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\
secθ = \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\    \frac{1}{\cos \theta}\ \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\ \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\    \sec \theta\ \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\
cotθ = \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\ \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\    \frac{1}{\tan \theta}\ \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\ \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\

   \cot \theta\


Representación

 

Gráfica de funciones

 

Trigonométricas

 

 

 

La Función seno

 

 

 

La Función tangente

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