Sistemas de Ecuaciones Lineales

 

Aqui queda un material para aquellas personas que quieran estudiar acerca de los sistemas de ecuaciones, sus métodos de resolución y varios ejercicios para realizar, están en formato pdf para que descarguen.

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Valor Absoluto

 

EL concepto de valor absoluto tiene varios usos, pero es un concepto un poco complejo, que llega a comprenderse cuando se necesita explicar  algunos acontecimientos.

 

Existen varias definiciones técnicas de valor absoluto, aunque es probable que nunca llegues a necesitarlas, en el estudio de la matemática si es probable que necesites al menos una noción general del concepto de valor absoluto.

 

Por ahora diremos que el valor absoluto de un número es su distancia desde el cero.

 

Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

En matemáticas un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de ecuaciones lineales que involucran al mismo conjunto de variables. Por ejemplo

 

 

 

 

 

 

Es un sistema de 2 ecuaciones con las variables x e y. La solución a un sistema lineal es la asignación de números a la variable, de forma tal que todas las ecuaciones queden simultáneamente satisfechas. Una solución al sistema anterior es

 

 

 

 

 

 

El conjunto de todas las soluciones posibles a un sistema se llama conjunto solución.
Los sistemas lineales pueden comportarse de 3 maneras posibles:

1.- El sistema tiene una única solución (sistema compatible determinado)
2.- El sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)
3.- El sistema no tiene solución (sistema incompatible)

 

 

 


 

Resolución de

 

 

 

Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

 

 

Existen 3 métodos para resolver sistemas de ecuaciones, éstos son: por reducción, por sustitución y método gráfico. Podríamos utilizar el método de escalerización de Gauss-Jordan, pero es material para otro capítulo. En general, para la resolución de sistemas de hasta 4 ecuaciones, los anteriores serán suficientes.

 

 

 

Método por reducción:

 

 

 

Tomemos el ejemplo anterior para resolver nuestro sistema y así obtener el valor de la variable x, procederemos como se detalla a continuación:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ahora debemos obtener el valor de la variable y

 

 

 

 

 

 

luego procedemos de igual forma para obtener el valor de x

 

 

 

 

 

Con ésto hemos resuelto nuestro sistema, ya que hemos obtenido los valores de las variables para los cuales las ecuaciones se pueden resolver de manera satisfactoria.

 

En las siguientes páginas estudiaremos otros métodos que podemos utilizar para resolver un sistema, siempre que el mismo no contenga más de 4 ecuaciones, y paso a explicar, los métodos que se trabajan a nivel secundario, no se ven limitados en cuanto a su utilidad, sino en cuanto a su  efectividad, me refiero a que Uds podrán resolver un sistema de ecuaciones lineales con los métodos aquí propuestos, pero en algunos casos, resultará mucho más práctico el uso de otros, que por su complejidad se incluirán en un artículo aparte.

 

 

 


 

Resolución

 

 

 

de Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

Método por sustitución

 

 

 

El mismo ejemplo del comienzo nos permitirá utilizar el nuevo método, en este caso vamos a despejar una incógnita en una ecuación para luego sustituir el valor en la otra (podemos usar cualquier ecuación y cualquier incógnita):

 

 

 

 

 

 

despejamos el valor de y de la segunda ecuación.

 

 

ahora sustituyamos el valor obtenido en la primera ecuación.

 

 

aplicaremos ahora propiedad distributiva:

 

 

 

 

 

 

y operando tenemos

 

 

 

 

 

 

a partir de aquí utilizaremos las técnicas aprendidas para solucionar una ecuación simple hasta tener

 

 

 

 

 

 


 

 

 

la operación será repetida luego para el valor de y, se procederá con la sustitución en la primera ecuación y mediante las operaciones ya trabajadas llegaremos al resultado deseado.

 

 

 


 

 

 

Resolución

 

 

 

de Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Método Gráfico

 

 

 

El método gráfico es el de menor aplicación de los 3, el motivo es que sólo podremos usarlo para sistemas de 2 ecuaciones y los valores de las soluciones deberán ser enteros para obtener un resultado utilizable.

 

Nuestro sistema se basa en el hecho de que las ecuaciones lineales, representan una recta (como su nombre lo indica) nuestra ventaja es que al graficar esas rectas en un par de ejes coordenados podemos identificar la solución de forma visual, ya que no es otra cosa que el punto de intersección de las 2 rectas.

 

El valor de x será la abcisa del punto intersección, y el valor de la variable y será la ordenada del mismo punto, quedando así identificados los valores de las variables. Nuestras desventajas como verán,  es que si el punto a determinar no tiene coordenadas enteras, o nuestro trazado no es perfecto, tendremos errores en los cálculos o impresiciones que los otros métodos no incluyen.

 

 

 

 

 


 

 

 

Resolución

 

 

 

de Sistemas de Ecuaciones

 

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Regla de Cramer o método de los determinantes

 

 

 

Usada para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

 

Un pequeño repaso, como sabemos la regla de Cramer es un método para resolver Ecuaciones Lineales, el mismo plantea que:



En la práctica sustituimos el vector de soluciones por el vector de la incógnita que queremos despejar, así en el sistema



Primero hallaremos la matriz A y su determinante

 

 


 



 

luego cambiamos la primera columna por el vector de resultados y calculamos

 




aplicando entonces nuestra regla o sea



luego procedemos igual para y







 

Soluciones:

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Resolución de

 

 

 

Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

Método de escalerización de Gauss Jordan



Si bien el método anterior resulta cómodo y fácil de usar una vez que se conoce cómo se calculan los determinantes de una matriz, es complicado de usar para matrices de cierto tamaño, de hecho ya para matrices de 4x4 el proceso se hace largo y tedioso.

Para este tipo de problemas podremos usar el método de escalerización de Gauss-Jordan.
El mismo plantea que podemos operar con las filas o columnas de una matriz (las diagonales también pero no vienen al caso) es mas, podemos operar con combinaciones lineales de filas de una matriz y si lo hacemos de forma correcta, mantenemos nuestro resultado, veamos la matriz:




Procederemos a operar con las filas de la matriz, obedeciendo una serie de reglas simples:
1.- Podemos multiplicar o dividir una fila por un número, pero siempre afectaremos a todos los coeficientes de la fila (incluso el resultado)
2.- Podemos restar o sumar 2 filas, operando miembro a miembro (vamos a utilizar esto para eliminar coeficientes)

Terminaremos cuando hallamos obtenido o una matriz triangular (con 0 debajo de la diagonal principal) o incluso una matriz diagonal (este es el procedimiento completo, pero como es más largo procederemos con un híbrido).

Retomemos nuestro sistema



Pasémoslo a forma matricial



Tomaremos ahora la primera fila y la multiplicaremos por 2 para obtener:

que usaremos para sumarla a la segunda fila para eliminar la x




resultado que colocamos en la segunda columna:



Ahora procederemos a multiplicar la primera columna por 3 y sumarla a la tercera (eliminamos la x también de esa fila)

logrando



vemos que ya tenemos 2 ceros en la primera columna, sólo resta eliminar un valor más y tendremos nuestra matriz triangular, para ello tomaremos la segunda fila multimplicada por -7 y la tercera por +6



resultado que tomará el lugar de la tercera fila en la matriz



Bueno ahora el proceso es simple, de la última fila despejamos z para obtener que es iguala 2
procedemos a sustituir nuestro resultado en la ecuación anterior y despejando obtenemos y, luego con el mismo método y las 2 incógnitas ya calculadas obtenemos x.

Soluciones:

Análisis Combinatorio

 

 

 

 

La teoría combinatoria toma sus conceptos fundamentales a partir de la teoría de conjuntos y se forma como un estudio sistemático orientado a contar sucesos, o combinaciones de los mismos.
Debemos entonces tener claros dichos conceptos e ideas y formular algunas más que funcionarán como base para la construcción de nuestro conocimiento.

Para poder continuar con nuestro procedimiento se considera necesario introducir el concepto de factorial, el factorial de n notado por n! es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a él, en otras palabras multiplicaremos los números desde 1 hasta n y el resultado será el factorial de n. Vale aclarar que el factorial de 0 es 1. Ésto se explica más adelante para el caso de los arreglos, pues la lógica es similar.
Esta idea surge a partir de uno de los primeros conceptos que trabajaremos, que es el de permutación.

Dado un conjunto N de n elementos llamaremos permutaciones de n elementos a todo conjunto que podemos formar cambiando el orden a los elementos de n. Éste valor se calcula como el factorial de n (n!).




Arreglo u Orden. (también se le conoce como Variaciones)

Llamaremos arreglo u orden n a todo conjunto ordenado de n elementos.

 

Observemos que, de acuerdo con esta definición, dos arreglos son iguales cuando tienen los mismos elementos, en el mismo orden y ésto no es menor, pues estamos diciendo que 2 subconjuntos que poseen los mismos elementos en distinto orden, representan arreglos distintos.
Tomemos ahora un conjunto M de m elementos.
Los arreglos de orden n (con n menor o igual a m) que pueden formarse con los elementos de M se llamarán arreglos de m elementos tomados de n, en otras palabras formaremos subconjuntos ordenados de n elementos a partir de los m que posee nuestro conjunto inicial, a éste número es al que nos referimos cuando hablamos de arreglos.

El número de estos arreglos, que no depende del conjunto que se tome sino de los valores de m y n, se indica como A^m_n o en algunos textos A_m, n.
Deberemos ahora realizar algunas especificaciones que nos permitirán calcular este valor.

Arreglos de Orden 0


El único arreglo de orden 0 es el conjunto vacío, por lo tanto A^m_0 = 1, para darle más significado a esto debemos recordar que el conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos, por tanto podemos formalmente (aunque no resulte tan evidente) hablar de un subconjunto aunque no posee elementos existe y por tanto hay que contarlo como arreglo.


Arreglos de orden n>0


Puede formarse a partir de los de orden anterior (que es lo que se llama un método por recurrencia).
Para demostrarlo, supongamos que se han formado los arreglos de orden n-1, a partir de éstos formaremos los arreglos de orden n, para ello completamos cada arreglo de orden n-1, agregándole como último, cada uno de los elementos del conjunto M, sin repetir ninguno y que son m -(n-1)=m-n+1
Si presentamos como ejemplo m=4, M={a,b,c,d} y n=3, los Arreglos de orden 2 serán:

(agregando el tercer elemento)
________m-n+1
ab         abc      abd
ac         acb        acd
ad       adb      adc
ba       bac      bad
bc       bca      bcd
bd       bda      bdc
ca         cab      cad
cb         cba      cbd
cd         cda      cdb
da         dab      dac
db         dba      dbc
dc         dca      dcb

 

 

tenemos así una fórmula por recurrencia, de Esta manera podemos trabajar con una notación más compacta ayudándonos de la notación factorial

 

 

La fórmula se cumple también para n=0 y n=1.


Combinaciones

 

Llamaremos combinaciones de m elementos tomados de a n (m>=n) a todos los conjuntos de n elementos que pueden formarse eligiendo éstos entre los m.
Esto es los subconjuntos de n elementos sacados de los m posibles. Como estos conjuntos no son ordenados, dos combinaciones son distintas si difieren en al menos un elemento, es útil aclarar que las combinaciones por este mismo hecho son menos que los arreglos.
El número de las combinaciones se indica por
o (^0_n) y se calcula como , lo cual nos indica que las combinaciones son los arreglos sobre las permutaciones (recordemos que en las combinaciones el orden no es tomado en cuenta)

 

Combinaciones Complementarias



Cada combinación de n elementos deja fuera m-n elementos, con los que puede formarse otra combinación llamada complementaria de la primera.
El número de combinaciones complementarias es igual al número de combinaciones de orden n.

 

 


 

Formula de Stieffel

 

 

 




La anterior se puede demostrar usando las correspondientes fórmulas.

 

 

 

operando:

 

 

al hallar común denominador podemos reducir:

 

 

de lo que nos queda

 

 

que es de por sí:

 

 

con lo cual queda demostrado.

 

 

 

Se ha inaugurado

 

el Foro Matemático

 

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