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Método de escalerización de Gauss Jordan



Si bien el método anterior resulta cómodo y fácil de usar una vez que se conoce cómo se calculan los determinantes de una matriz, es complicado de usar para matrices de cierto tamaño, de hecho ya para matrices de 4x4 el proceso se hace largo y tedioso.

Para este tipo de problemas podremos usar el método de escalerización de Gauss-Jordan.
El mismo plantea que podemos operar con las filas o columnas de una matriz (las diagonales también pero no vienen al caso) es mas, podemos operar con combinaciones lineales de filas de una matriz y si lo hacemos de forma correcta, mantenemos nuestro resultado, veamos la matriz:




Procederemos a operar con las filas de la matriz, obedeciendo una serie de reglas simples:
1.- Podemos multiplicar o dividir una fila por un número, pero siempre afectaremos a todos los coeficientes de la fila (incluso el resultado)
2.- Podemos restar o sumar 2 filas, operando miembro a miembro (vamos a utilizar esto para eliminar coeficientes)

Terminaremos cuando hallamos obtenido o una matriz triangular (con 0 debajo de la diagonal principal) o incluso una matriz diagonal (este es el procedimiento completo, pero como es más largo procederemos con un híbrido).

Retomemos nuestro sistema



Pasémoslo a forma matricial



Tomaremos ahora la primera fila y la multiplicaremos por 2 para obtener:

que usaremos para sumarla a la segunda fila para eliminar la x




resultado que colocamos en la segunda columna:



Ahora procederemos a multiplicar la primera columna por 3 y sumarla a la tercera (eliminamos la x también de esa fila)

logrando



vemos que ya tenemos 2 ceros en la primera columna, sólo resta eliminar un valor más y tendremos nuestra matriz triangular, para ello tomaremos la segunda fila multimplicada por -7 y la tercera por +6



resultado que tomará el lugar de la tercera fila en la matriz



Bueno ahora el proceso es simple, de la última fila despejamos z para obtener que es iguala 2
procedemos a sustituir nuestro resultado en la ecuación anterior y despejando obtenemos y, luego con el mismo método y las 2 incógnitas ya calculadas obtenemos x.

Soluciones:

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