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Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

En matemáticas un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de ecuaciones lineales que involucran al mismo conjunto de variables. Por ejemplo

 

 

 

 

 

 

Es un sistema de 2 ecuaciones con las variables x e y. La solución a un sistema lineal es la asignación de números a la variable, de forma tal que todas las ecuaciones queden simultáneamente satisfechas. Una solución al sistema anterior es

 

 

 

 

 

 

El conjunto de todas las soluciones posibles a un sistema se llama conjunto solución.
Los sistemas lineales pueden comportarse de 3 maneras posibles:

1.- El sistema tiene una única solución (sistema compatible determinado)
2.- El sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)
3.- El sistema no tiene solución (sistema incompatible)

 

 

 


 

Resolución de

 

 

 

Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

 

 

Existen 3 métodos para resolver sistemas de ecuaciones, éstos son: por reducción, por sustitución y método gráfico. Podríamos utilizar el método de escalerización de Gauss-Jordan, pero es material para otro capítulo. En general, para la resolución de sistemas de hasta 4 ecuaciones, los anteriores serán suficientes.

 

 

 

Método por reducción:

 

 

 

Tomemos el ejemplo anterior para resolver nuestro sistema y así obtener el valor de la variable x, procederemos como se detalla a continuación:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ahora debemos obtener el valor de la variable y

 

 

 

 

 

 

luego procedemos de igual forma para obtener el valor de x

 

 

 

 

 

Con ésto hemos resuelto nuestro sistema, ya que hemos obtenido los valores de las variables para los cuales las ecuaciones se pueden resolver de manera satisfactoria.

 

En las siguientes páginas estudiaremos otros métodos que podemos utilizar para resolver un sistema, siempre que el mismo no contenga más de 4 ecuaciones, y paso a explicar, los métodos que se trabajan a nivel secundario, no se ven limitados en cuanto a su utilidad, sino en cuanto a su  efectividad, me refiero a que Uds podrán resolver un sistema de ecuaciones lineales con los métodos aquí propuestos, pero en algunos casos, resultará mucho más práctico el uso de otros, que por su complejidad se incluirán en un artículo aparte.

 

 

 


 

Resolución

 

 

 

de Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

Método por sustitución

 

 

 

El mismo ejemplo del comienzo nos permitirá utilizar el nuevo método, en este caso vamos a despejar una incógnita en una ecuación para luego sustituir el valor en la otra (podemos usar cualquier ecuación y cualquier incógnita):

 

 

 

 

 

 

despejamos el valor de y de la segunda ecuación.

 

 

ahora sustituyamos el valor obtenido en la primera ecuación.

 

 

aplicaremos ahora propiedad distributiva:

 

 

 

 

 

 

y operando tenemos

 

 

 

 

 

 

a partir de aquí utilizaremos las técnicas aprendidas para solucionar una ecuación simple hasta tener

 

 

 

 

 

 


 

 

 

la operación será repetida luego para el valor de y, se procederá con la sustitución en la primera ecuación y mediante las operaciones ya trabajadas llegaremos al resultado deseado.

 

 

 


 

 

 

Resolución

 

 

 

de Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Método Gráfico

 

 

 

El método gráfico es el de menor aplicación de los 3, el motivo es que sólo podremos usarlo para sistemas de 2 ecuaciones y los valores de las soluciones deberán ser enteros para obtener un resultado utilizable.

 

Nuestro sistema se basa en el hecho de que las ecuaciones lineales, representan una recta (como su nombre lo indica) nuestra ventaja es que al graficar esas rectas en un par de ejes coordenados podemos identificar la solución de forma visual, ya que no es otra cosa que el punto de intersección de las 2 rectas.

 

El valor de x será la abcisa del punto intersección, y el valor de la variable y será la ordenada del mismo punto, quedando así identificados los valores de las variables. Nuestras desventajas como verán,  es que si el punto a determinar no tiene coordenadas enteras, o nuestro trazado no es perfecto, tendremos errores en los cálculos o impresiciones que los otros métodos no incluyen.

 

 

 

 

 


 

 

 

Resolución

 

 

 

de Sistemas de Ecuaciones

 

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Regla de Cramer o método de los determinantes

 

 

 

Usada para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

 

Un pequeño repaso, como sabemos la regla de Cramer es un método para resolver Ecuaciones Lineales, el mismo plantea que:



En la práctica sustituimos el vector de soluciones por el vector de la incógnita que queremos despejar, así en el sistema



Primero hallaremos la matriz A y su determinante

 

 


 



 

luego cambiamos la primera columna por el vector de resultados y calculamos

 




aplicando entonces nuestra regla o sea



luego procedemos igual para y







 

Soluciones:

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Resolución de

 

 

 

Sistemas de Ecuaciones

 

 

 

 

 

Método de escalerización de Gauss Jordan



Si bien el método anterior resulta cómodo y fácil de usar una vez que se conoce cómo se calculan los determinantes de una matriz, es complicado de usar para matrices de cierto tamaño, de hecho ya para matrices de 4x4 el proceso se hace largo y tedioso.

Para este tipo de problemas podremos usar el método de escalerización de Gauss-Jordan.
El mismo plantea que podemos operar con las filas o columnas de una matriz (las diagonales también pero no vienen al caso) es mas, podemos operar con combinaciones lineales de filas de una matriz y si lo hacemos de forma correcta, mantenemos nuestro resultado, veamos la matriz:




Procederemos a operar con las filas de la matriz, obedeciendo una serie de reglas simples:
1.- Podemos multiplicar o dividir una fila por un número, pero siempre afectaremos a todos los coeficientes de la fila (incluso el resultado)
2.- Podemos restar o sumar 2 filas, operando miembro a miembro (vamos a utilizar esto para eliminar coeficientes)

Terminaremos cuando hallamos obtenido o una matriz triangular (con 0 debajo de la diagonal principal) o incluso una matriz diagonal (este es el procedimiento completo, pero como es más largo procederemos con un híbrido).

Retomemos nuestro sistema



Pasémoslo a forma matricial



Tomaremos ahora la primera fila y la multiplicaremos por 2 para obtener:

que usaremos para sumarla a la segunda fila para eliminar la x




resultado que colocamos en la segunda columna:



Ahora procederemos a multiplicar la primera columna por 3 y sumarla a la tercera (eliminamos la x también de esa fila)

logrando



vemos que ya tenemos 2 ceros en la primera columna, sólo resta eliminar un valor más y tendremos nuestra matriz triangular, para ello tomaremos la segunda fila multimplicada por -7 y la tercera por +6



resultado que tomará el lugar de la tercera fila en la matriz



Bueno ahora el proceso es simple, de la última fila despejamos z para obtener que es iguala 2
procedemos a sustituir nuestro resultado en la ecuación anterior y despejando obtenemos y, luego con el mismo método y las 2 incógnitas ya calculadas obtenemos x.

Soluciones:

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