Problemas con Números Enteros

 

1) Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió?

Datos

Que se pide

Conceptos

Año 63 A.C

Año 14 D.C

 

Cuántos años vivió el emperador

A.C/D.C

Podemos formar una línea de tiempo, donde ubicamos el año 0 y luego a la izquierda el 63 AC luego a la derecha el 14 DC  y pedimos el cálculo como la suma de los tramos de tiempo a ambos lados de la línea

 


               63 AC                                        0           14 DC

Debemos señalar que el AC/DC es sólo otra forma de codificar la información para separar la forma de contar los años, igual que en matemática se usan los signos de + o – para los enteros.

 

 

2) Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Cuál es el recorrido total del petróleo?

Datos

Que se pide

Conceptos

975 m de prof.

28 m de altura

Recorrido del petróleo

-

Idem anterior, únicamente que aquí se usa una  representación vertical, al igual que antes, la profundidad y la altura se usan para codificar una diferencia entre las cantidades, que debemos tomar en cuenta para realizar el cálculo.

Continuar el uso de problemas similares no trae demasiado al proceso de aprendizaje, sino comenzamos a generalizar el procedimiento


¿Qué tienen ambos ejercicios en común?

¿Qué conjunto de números se aplican mejor para estos problemas?

¿Qué sucede si los dos números son positivos/negativos?

¿Cómo procedemos si la operación ya no es una suma?

¿Qué debemos cambiar al próximo problema para que tenga atienda otra situación matemática?


 

 

3) ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC?

¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

Datos

Que se pide

Conceptos

Verduras a 4ºC

Pescado a -18ºC

Qué diferencia de temperatura se soporta

-

El procedimiento es repetitivo, las conclusiones similares, ahora podríamos cambiar uno de los valores para que ahora queden ambos negativos o ambos positivos.-

Por Ej.

       

                                                           0º     4º                          18º    


¿Sigue siendo la misma operación?    

¿Podemos realizar 4 – 18?

Si lo hacemos así ¿Qué cambia? 

¿Esto afecta el resultado?

¿Tiene sentido?


          


                     -18º                                  -4º      0º         

¿Qué cambió en nuestra cuenta?    (-18)-(-4) =

¿Es igual resultado que:  (-4) – (-18)= ?

¿Cómo afecta nuestro procedimiento?

 

4)  La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC ?

Datos

Que se pide

Conceptos

La temp baja 9ºC cada 300m

Temperatura del aire -81ºC

La altura a la que vuela el avión

 


¿Cuál es la temperatura al nivel del mar?

¿Cómo incide en el cálculo?

Si tomamos el valor de referencia de los libros de física (20ºC PTN) ¿Qué problemas encontramos para realizar el cálculo ahora?

¿Hay algún valor que preferirías para realizar estos cálculos?

Ahora incluimos el producto de enteros. ¿Qué debemos tener en cuenta a la hora de multiplicar enteros?

¿Cómo afecta el signo a nuestro cálculo? ¿El orden es importante?

 

 

 

5)  En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

Datos

Que se pide

Conceptos

Hay 800 l

Por arriba se agregan 25 l/m

Salen 30 l/m

15min de funcionamiento

Cuántos litros hay en el depósito luego del plazo

 

Podemos comenzar la idea simplificando, eliminemos alguna de las variables, por ejemplo

 

¿Qué pasaría luego de 1 minuto?

¿Qué sería del sistema si sólo entrara agua?

¿Y si sólo saliera?

Podemos ensayar alguna forma de representar la situación (una tabla)

¿Es importante para nuestro cálculo que haya agua en el tanque al comenzar?

 

 

800+ 25x15 – 30x15 =

 

6) Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

 

Datos

Que se pide

Conceptos

 

Ordenar en forma creciente

Representar gráficamente

Creciente

Números Opuestos

Valor absoluto

 

 

7) Sacar factor común en las expresiones:

a..  3 · 2 + 3 · (−5) =

b.  (−2) · 12 + (−2) · (−6) =

c..  8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =

d..  (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

Datos

Que se pide

Conceptos

 

Sacar de factor común

Factor

Factor común

 

9) Realizar las siguientes operaciones con números enteros:

i   (3 − 8) + [5 − (−2)] =

ii   5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =

iii   9 : [6 : (− 2)] =

iv   [(−2)5 − (−3)3]2 =

v   (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)2 =

vi   [(17 − 15)3 + (7 − 12)2] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

 

 

NUMEROS ENTEROS: Problemas

 

 

1. La temperatura más alta registrada en la Tierra fue de 58º en Libia en septiembre de 1922, y la más baja fue de –88º en la Antártida en agosto de 1960.

¿Cuál es la diferencia entre la temperatura registrada en Libia y la registrada en la

Antártida?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

58º en Libia sept 1922

-88º en la Antártida agosto de 1960

Diferencia de temperatura registrada entre Libia y Antártida

 

 

-88-58 =     o bien   58 - (-88) =  ¿Cuál es la operación correcta para esta situación?

 

Matemáticamente hablando ambas formas son correctas, pero sólo una nos da un resultado coherente con lo que necesitamos ¿Por qué?

 

 

2. Camila tiene en sus ahorros 730 pesos. Cada mes su padre le entrega 210 pesos y ella saca para sus gastos 110 pesos.

¿Cuánto dinero tendrá ahorrado al cabo de seis meses?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

Inicio 730 $

Por mes se suman 210

Por mes se quitan 110

Plazo 6 meses

Cantidad de dinero al cabo del plazo

 

 


730+210-110+210-110+210-110+210-110+210-110+210-110 =

 

730+210.6-110.6 =

 

730+(210-110).6= 1330

O bien

 

210-110 = 100

100*6 = 600

600+730 = 1330

 

 

3. Rosa gana cada hora 20 pesos más que Lucía. Han trabajado el mismo número de horas. Al terminar el trabajo, Rosa ha ganado 640 pesos más que Lucía.

a) ¿Cuántas horas ha trabajado cada una?.

b) Si Lucía gana 3840 pesos, ¿cuánto ha ganado Rosa?

c) ¿Cuánto gana cada una por hora?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

Rosa gana 20 más que Lucía

Mismo número de horas

Rosa 640 más que Lucía

Lucía 3840

Horas trabajadas

Cuanto ganó Rosa

Cuánto ganan por hora

 

 

Dado que no tenemos más información supongamos una cifra para cada una por ej 10 Lucía y 30 Rosa

Hagamos una tabla

640 / 20 = 32

3840+640 = 4480

3840/32 = 120

4480/32 = 140

 

 

 

4. Un edificio está formado por 4 sótanos, la planta baja y 11 pisos más. La altura de cada sótano es un metro mayor que la de cada piso. El sótano –4 está a una altura de –16 m.   ¿Cuál es la altura del edificio?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

4 sótanos

12 pisos     (11+ P.B)

Piso 1 menos que sótano

Sótano -4 está a -16 m

La altura del edificio

 

 

¿Cuánto mide cada sótano?

¿Miden lo mismo?

¿Cuánto mide 1 piso?

No olvidemos tomar en cuenta la planta baja

Al preguntar la altura del edificio ¿Contaremos todo?

16+3x12= 52m

 

 

5. Tres niñas se reparten cierta cantidad de dinero. La primera recibe 55 pesos, la segunda 5 pesos más que la primera y la tercera igual que las otras dos juntas.

¿Cuánto dinero se repartieron entre las tres niñas?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

3 niñas

Primera 55 $

Segunda 5 mas que la primera

Cantidad total de dinero

 

 

 

55+(55+5)+ 55+(55+5) = 55 + 55 + 5 + 55 + 55 + 5 = 55.4 +5.2 = 220+10 = 230

 

 

 

6)  Eduardo tiene 46 años y su hijo 17. ¿Qué edad tendrá Eduardo cuando su hijo tenga 28 años?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

Eduardo 46

Hijo 17

Edad de Eduardo cuando hijo 28

 

28-17 = 11

46+11 = 57

7)  En el Liceo se gastan diariamente 1500 hojas.

a) ¿Cuántos se gastan en una semana?

b) ¿Cuál ha sido el gasto en el mes de abril, si el paquete de 500 hojas cuesta 160 pesos?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

1500 hojas diarias

Semana 7 días

Abril 30 días

Paquete 500 hojas 160 pesos

Gasto hojas en una semana

Gasto plata en un mes

 

 

1500 x 7 = 10500

1500 x 30 / 500 =  90 paquetes

90 x $160 = $ 14400

 

 

9)  En una urbanización viven 13500 personas; hay un roble por cada 90 personas y 4 pinos por cada 120 personas.

¿Cuántos árboles de cada clase hay en la urbanización?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

13500 personas

1 roble cada 90 p

4 pinos cada 120 p

Cantidad de árboles

 

 

13500 / 90 = 150 robles

13500/120 450 pinos

 

10. Ayer, la temperatura a las nueve de la mañana era de 15º C. A mediodía había subido 6º C, a las cinco de la tarde marcaba 3º C más, a las nueve de la noche había bajado 7º C y a las doce de la noche aún había bajado otros 4º C.

¿Qué temperatura marcaba el termómetro a medianoche?

 

Datos

Que se pide

Conceptos

Temp inicial 15º

Aumenta 6 al mediodía

Aumenta 3 a las 17:00

Disminuye 7 a las 21:00

Disminuye 4 a las 00:00

Temperatura a las 00:00

 

 

15+6+3-7-4 = 13º

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