Los Numeros Enteros

Los Números Enteros

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El conjunto de los Números Enteros se forman a partir de los enteros positivos, el cero y los enteros negativos (hay quien refiere a los naturales y no a los enteros positivos, aceptaremos que los conjuntos son isomorfos {o sea que tienen la misma forma}), podríamos describirlos como un subconjunto de los números Reales que pueden ser escritos sin parte decimal o fraccionaria o sea {... -2 ,-1, 0, 1, 2, ...} Este conjunto usualmente se representa mediante la letra \mathbb{Z} que proviene del término Zahlen (alemán para números) y forman (con la adición como operación) el menor grupo que contiene al monoide aditivo de los números naturales; e igual que éstos forman un conjunto infinito numerable.

 

 

 

Propiedades Algebraicas de los Enteros

 



Como los números naturales,
\mathbb{Z} es cerrado bajo las operaciones de adición y producto, esto es la suma y producto de dos enteros es un entero. Sin embargo con la inclusión de los números negativos y el cero (a diferencia de los naturales) los enteros también son cerrados bajo la sustracción. \mathbb{Z} no es cerrado bajo la división, ya que el cociente de dos enteros no siempre es entero.

 

 

 

 

Adición

Multiplicación

Clausura

ab es entero

a × b es entero

Asociatividad

a + (bc)  =  (ab) + c

a × (b × c)  =  (a × b) × c

Conmutatividad:

ab =  ba

a × b =  b × a

Existencia de elemento neutro:

a + 0  =  a

a × 1  =  a

Existencia de opuesto:

a + (−a)  =  0

usualmente no existe inverso

Propiedad distributiva:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c) y   (a + b) × c = (a × c) + (b × c)

Propiedad de absorción:

 

If a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0 (o ambos)

 



En el lenguaje del algebra abstracta, las propiedades antes citadas para la adición nos dicen que
\mathbb{Z} es un grupo abeliano bajo esta operación. Es más, todas las afirmaciones anteriores (excepto la última) permiten afirmar que los enteros son un anillo conmutativos con unidad bajo la adición y el producto. Con el agregado de la última propiedad se puede afirmar que \mathbb{Z} es un dominio integral y de hecho motiva este tipo de estructura. La falta de inverso en el producto, lo que es equivalente a afirmar que \mathbb{Z} no es cerrado para el cociente, indica que \mathbb{Z} no es un campo. De hecho el menor campo que contiene a los enteros es el campo de los números racionales.
Aunque la división ordinaria no está definida en
\mathbb{Z}, el conjunto posee una importante propiedad llamada algoritmo de la división, esto es; dados 2 enteros a y b (con b distinto de 0) existen únicos enteros q y r tales que a=bxq +r con 0 ≤ r < | b | donde | b | significa el valor absoluto de b. El entero q es llamado cociente y r resto de la división. Esto es la base para el algoritmo de Euclides para calcular máximo comùn divisores.

 



 

Propiedades de Orden de los Números Enteros

 



\mathbb{Z} es un conjunto totalmente ordenado sin límite superior o inferior. El orden de \mathbb{Z} está dado por
... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 ...
Un entero es positivo si es mayor que cero y negativo si es menor que cero, el cero no es positivo ni negativo. El orden de los enteros es compatible con las operaciones algebraicas de la siguiente manera
1.- si a < b y c < d entonces a + c < b + d
2.- si a < b y 0 < c entonces ac < bc
de los que se deduce que Z con el orden definido es un anillo ordenado

 



 

Construcción de los números Enteros

 



El conjunto de los números enteros puede ser formalmente construido como las clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales (a, b) La intuición marca que (a, b) referirá al resultado de restar a - b, por supuesto que esta definición obliga a que los enteros representados por 1-2 y 4-5 sean el mismo número, para confirmar esto definiremos una relación ~ sobre estos pares con las siguientes características
(a, b) ~ (c, d) si a + d = b + c
La adición y el producto de enteros pueden definirse como equivalentes a las vistas en el conjunto de los números naturales, notando [(a, b)] a los representantes de la clase de quivalencia que mantiene a (a, b) como miembro, se tiene que:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]
[(a, b)] . [(c, d)] = [(a.c +b.d, a.d + b.c)]
el inverso aditivo de un entero se obtiene cambiando el orden del par
- [(a, b)] = [(b , a)]
de manera que la sustracción se puede definir como la adición del inverso aditivo:
[(a, b)] - [(c, d)] = [(a + d, b + c)]
el orden de enteros estaría dado por
[(a, b)] < [(c, d)] si y solo si a + d < b + c
Se puede verificar fácilmente que estas definiciones funcionan independientemente del par representativo de la clase de equivalencia que usemos.
Cada clase de equivalencia tiene un único miembro de la forma (n, 0) o (0, n) o ambos. El mismo puede usarse como representante de la clase de equivalencia correspondiente  teniendo en primer caso representado al entero n y en segundo caso a -n, de esta forma recuperamos una notación mas amigable para representar a los enteros (haciendo corresponder a los naturales con los enteros positivos) lo que resulta en una notación mas familiar.

 



 

Cardinalidad de los Enteros

 

 

 



 

La cardinalidad del conjunto de los números enteros es igual a \aleph_0 (aleph-null). Lo que se puede demostrar construyendo una biyección entre los enteros y los naturales

 

 

 

Si N = {0, 1, 2, ...}

 

considere la función:

 

 

 

f(x) = \begin{cases} 2|x|,  & \mbox{if } x  < 0 \\ 0, & \mbox{if } x = 0 \\ 2x-1, & \mbox{if }  x >  0. \end{cases}

 

{ ... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ... }

 

Si N = {1,2,3,...} entonces considere la función:

 

g(x) = \begin{cases} 2|x|,  & \mbox{if } x  < 0 \\ 2x+1, & \mbox{if }  x \ge 0. \end{cases}

 

{ ... (-4,8) (-3,6) (-2,4) (-1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7) ... }

Si se restringe el dominio a los enteros, entonces la función hace corresponder uno y sólo un natural a cada entero que se define y por definición de igualdad cardinal  ambos conjuntos deberán tener igual cardinal (cantidad de elementos).

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