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Axiomas de Cuerpo

de los Números Reales

 

 

 

 

 

Junto con el conjunto de números reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adición y producto, tales que a cada par de reales a y b les corresponde un número real que queda únivocamente determinado por ellos.

AXIOMA 1 Propiedad Conmutativa   x + y = y + x, x.y = y.x

AXIOMA 2 Propiedad Asociativa   x + (y + z) = (x + y) + z , x(y.z) = (x.y)z

AXIOMA 3 Propiedad Distributiva x(y + z) = x.y + x.z

AXIOMA 4 Existencia de elementos Neutros: Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1, tales que para cada número real x se tiene:
x + 0 = 0 + x = x y 1.x = x.1 = x.


AXIOMA 5 Existencia de Negativos. Para cada número real x existe un número real y tal que x + y = y + x = 0

AXIOMA 6 Existencia del Recíproco: Para cada número real x<> 0 existe un número real y tal que x.y = y.x = 1

De lo anterior podemos deducir las leyes usuales del Álgebra básica, en esta ocasión representadas como teoremas.

 

Teoremas

 

1.. Ley de Simplificación de la Adición: Si a + b = a + c entonces b=c (a partir de lo cual podemos probar la unicidad del 0)

2.. Posibilidad de la Sustracción: Dados a y b existe uno y sólo un x tal que a + x = b. El mismo se nota por b - a. En particular 0 - a se nota -a y se denomina opuesto de a.

3.. b - a = b + (-a)

4.. -(-a) = a

5.. a(b - c) = a.b - a.c

6.. 0.a = a.0 = 0

7.. Ley de simplificación del producto. Si a.b= a.c y a<>0 entonces b=c (también podemos demostrar que el 1 es único con esta premisa)

8.. Posibilidad de la División. Dados a y b con a <> 0, existe uno y sólo un x tal que a-x = b. La x se designa por b/a y es llamada cociente de b y a. En particular 1/a se nota también a^-1 y se llama recíproco de a.

9.. Si a <> 0 entonces b/a = b. a-¹  

10.. Si a<> 0 entonces (a-¹)-¹ = a

11.. Si a.b = 0 entonces o a = 0 o bien b = 0.

12.. (-a).b = -(a.b) y (-a).(-b) = a.b

13.. (a/b) + (c/d) = (a.d + bc)/(b.d) si b y d <> 0

14.. (a/b)(c/d) = (a.c)/(b.d) si b y d <> 0

15.. (a/b)/(c/d) = (a.d)/(b.c) si b , d y c <> 0

 

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