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Número Real

Introducción a los Números Reales

________Si bien existen varios métodos para introducir a los números Reales, tomaremos dos que consideramos fundamentales.

El primero, es el dado por el proceso histórico; esto es, la introducción de los números naturales y sus operaciones junto con los procesos que fueron dando lugar a la construcción de los distintos conjuntos (Enteros, Racionales, etc) explorando y dando solución a las limitaciones formales y de operatoria que se iban sucediendo.
Según esta concepción entonces, las limitaciones en la sustracción en el conjunto de los naturales dieron lugar a la definición del conjunto de los Enteros, y a su vez las limitaciones en el cociente de enteros llevó a la necesidad de los números Racionales, un paso menos intuitivo es el dado para lograr la definición y/o necesidad de los números reales.
Los griegos, en la antigüedad se ocupaban de resolver problemas matemáticos y estudiar las propiedades de los números,  gracias a ellos es que nosotros llegamos  a conocer su importancia y a desarrollar las actuales teorías numéricas .

Es así que se atribuye a los griegos, por sus estudios en geometría; el planteo de la necesidad de ampliar los conjuntos conocidos hasta el momento, si bien ellos nunca llegaron a una construcción formal de los Reales, notaron por ejemplo que la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tenían medida 1, no correspondía con ningún número conocido (no se podía representar como cociente de un entero y un natural) o la relación dada entre la medida del radio de un círculo y la medida de su circunferencia (pi) tampoco corresponde a un número Racional.

De allí la necesidad de definir un nuevo conjunto de números llamados "irracionales" (por no pertenecer al conjunto de los racionales) que podríamos sin ser formalistas, definir como aquellos que no pueden ser representados como cociente de un Entero y un Natural. (recuérdese que ésta era la def. de los Racionales).

Más adelante y mediante trabajos que no vale la pena profundizar en éste momento, se llegó a la conclusión que los irracionales superan ampliamente en cantidad a los números racionales. Sin embargo lo que nos convoca en éste momento es el conjunto que obtenemos como unión de los racionales y los irracionales llamado Conjunto de los Números Reales.
Éstos se notarán mediante el símbolo  \mathbb R y tienen definidas las operaciones hasta ahora vistas (adición, sustracción, cociente y producto) sin restricciones (excepto por el cociente entre 0 que no está definido) y algunas otras que se trabajarán.

La segunda teoría, que data del siglo XIX, es la que detalla una construcción basada en 10 axiomas, y todas las propiedades de los números Reales están entre ellos o se deducen a partir de los mismos.

Ésta es una construcción formal; basada entonces en axiomas, en la que tendremos en cuenta que mientras no se exprese otra cosa, cualquier letra minúscula representa a un número Real.
Los axiomas se agrupan en 3 grupos, los axiomas de cuerpo, axiomas de orden y del extremo superior (llamado también axioma de completitud o de continuidad).

 


Axiomas de Cuerpo

de los Números Reales

 

 

 

 

 

Junto con el conjunto de números reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adición y producto, tales que a cada par de reales a y b les corresponde un número real que queda únivocamente determinado por ellos.

AXIOMA 1 Propiedad Conmutativa   x + y = y + x, x.y = y.x

AXIOMA 2 Propiedad Asociativa   x + (y + z) = (x + y) + z , x(y.z) = (x.y)z

AXIOMA 3 Propiedad Distributiva x(y + z) = x.y + x.z

AXIOMA 4 Existencia de elementos Neutros: Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1, tales que para cada número real x se tiene:
x + 0 = 0 + x = x y 1.x = x.1 = x.


AXIOMA 5 Existencia de Negativos. Para cada número real x existe un número real y tal que x + y = y + x = 0

AXIOMA 6 Existencia del Recíproco: Para cada número real x<> 0 existe un número real y tal que x.y = y.x = 1

De lo anterior podemos deducir las leyes usuales del Álgebra básica, en esta ocasión representadas como teoremas.

 

Teoremas

 

1.. Ley de Simplificación de la Adición: Si a + b = a + c entonces b=c (a partir de lo cual podemos probar la unicidad del 0)

2.. Posibilidad de la Sustracción: Dados a y b existe uno y sólo un x tal que a + x = b. El mismo se nota por b - a. En particular 0 - a se nota -a y se denomina opuesto de a.

3.. b - a = b + (-a)

4.. -(-a) = a

5.. a(b - c) = a.b - a.c

6.. 0.a = a.0 = 0

7.. Ley de simplificación del producto. Si a.b= a.c y a<>0 entonces b=c (también podemos demostrar que el 1 es único con esta premisa)

8.. Posibilidad de la División. Dados a y b con a <> 0, existe uno y sólo un x tal que a-x = b. La x se designa por b/a y es llamada cociente de b y a. En particular 1/a se nota también a^-1 y se llama recíproco de a.

9.. Si a <> 0 entonces b/a = b. a-¹  

10.. Si a<> 0 entonces (a-¹)-¹ = a

11.. Si a.b = 0 entonces o a = 0 o bien b = 0.

12.. (-a).b = -(a.b) y (-a).(-b) = a.b

13.. (a/b) + (c/d) = (a.d + bc)/(b.d) si b y d <> 0

14.. (a/b)(c/d) = (a.c)/(b.d) si b y d <> 0

15.. (a/b)/(c/d) = (a.d)/(b.c) si b , d y c <> 0

 


Axiomas de Orden

de los Números Reales

 

 

 

 

Este grupo de axiomas establece un orden entre los números reales. Según este orden se puede decidir si un real es mayor o menor que otro. Nuevamente veremos aquí la necesidad de trabajar con conceptos que no vamos a probar, por ser conceptos primitivos, en este caso el de positivo.

Suponemos que existe cierto subconjunto R+ incluido en R, llamado conjunto de los reales positivos que satisfacen 3 axiomas de orden

 

AXIOMA 7   Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre con x + y y x.y

AXIOMA 8    Para todo real x <> 0, o bien x pertenece R+ o -x pertenece a R+, pero no ambos

AXIOMA 9      0  no pertenece a R+

 

A partir de ésto se puede definir los símbolos <, > ,≤y ≥ llamados respectivamente menor que, mayor que, menor o igual y mayor o igual de la siguiente manera
x < y significa que y - x es positivo
y>x  significa que x<y.
x≤y significa que o x<y o x=y.
y≥x significa que x ≤ y.

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