Numero Racional

Número Racional

 

 

 

 

En matemática un Número Racional es cualquier número que se pueda expresar como el cociente a/b de dos enteros, con el denominador b distinto de cero. Dado que b puede ser igual a 1, cada entero puede considerarse como un número racional. El conjunto de todos los números racionales se denota usualmente con una \mathbb{Q}, que proviene de la palabra Inglesa "quotient".

La expresión decimal de un número racional es de la forma  

 r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}

ésta siempre terminará en una cantidad finita de dígitos o repetirá una secuencia infinita, o sea cualquier número decimal con representación finita o siguiendo un patrón representa a un número racional. Esta afirmación es cierta no sólo al trabajar en base 10, sino en cualquier base entera que podamos trabajar.

Los Números Racionales pueden ser definidos formalmente como las clases de equivalencia del conjunto ZxN / ~, donde el producto cartesiano ZxN es el conjunto de todos los pares ordenados (m,n) donde m es un entero y n es un número natural (recordemos que 0 no es natural), y ~ es la relación de quivalencia definida según
(m1,n1) ~ (m2,n2) si y sólo si m1n2  − m2n1 = 0.

En álgebra abstracta, los números racionales junto con las operaciones de adición y producto, forman un cuerpo. En análisis matemático, los números racionales forman un subconjunto denso de los números reales. Los números Reales pueden ser construidos a partir de los números racionales por comletitud, usando series de Cauchy o Entornos de Dedekind.

El cero dividido cualquier natural es igual a cero, por lo cual cero es un número racional (aunque la división entre 0 no esté definida).



Aritmética de los Racionales



Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si      ad=bc.

Dos números racionales se suman de la siguiente manera

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.


El producto consiste en:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} =  \frac{ac}{bd}.


Los opuestos e inversos en los racionales consisten en

 

 - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} =  \frac{a}{-b} \quad\mbox{and}\quad          \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq  0.

Por último el cociente de racionales está dado por

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.

 

 

Algunas Propiedades del Conjunto de los Números Racionales

 


El conjunto racional
\mathbb{Q} junto con la adición y el producto forman un campo. Este conjunto es infinito numerable, (dado que el conjunto de los reales es infinito no numerable, podemos afirmar que casi todos los reales son irracionales) en relación a la medida de Lebesgue el conjunto de los números  racionales tiene medida 0. El conjunto de los números racionales es densamente ordenado, esto es dados dos racionales siempre podremos encontrar infinitos racionales contenidos entre ellos. Es más cualquier conjunto ordenado numerable y denso que no tenga primer o último elemento, se dice que es isomorfo con el conjunto de los racionales (tiene la misma forma)

 

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