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Número Natural

 

 

Introducción al Conjunto Natural

 

Los números naturales, son básicamente aquellos que utilizamos para contar. Nuestro sistema de numeración es el decimal (pues usamos los dígitos del 0 al 9). pero esto es una elección arbitraria que nada tiene que ver con los fundamentos de la matemática.

Es así por ejemplo que las computadoras operan con lenguaje binario (al menos hasta algunos años atrás) hoy se manejan con sistemas numéricos de base 16, podemos nombrar el sistema  ternario, el  octal  y existen además muchos otros sistemas numéricos de los cuales pasaremos a detallar algunos a continuación.

Los sistemas de numeración

 

Nombrábamos anteriormente el sistema numérico binario,  el mismo utiliza ceros y unos únicamente, y es perfectamente posible realizar cualquier operación usando este sistema. Un muy simple ejemplo sería sumar 10 + 11 cuyo resultado en el sistema binario es 101.

Otros sistemas numéricos  también utilizados en la actualidad consisten en el sistema duodecimal (se atribuye sus orígenes a la cantidad de falanges de los dedos sin contar el pulgar) hasta la fecha conservamos este sistema numérico cuando nos referimos a docenas, e incluso en los países de habla inglesa se mantienen vestigios (1 pie = 12 pulgadas o un chelín = 12 peniques).

El sistema sexagesimal (base 60) utilizamos para medir el tiempo, en fin lejos de abarcar todos los posibles sistemas numéricos existentes o siquiera aquellos de los que aún se utilizan partes nos limitamos a estos ejemplos con pequeñas reseñas, veremos si es aceptado, podríamos profundizar e incluso nombrar algunos otros que ustedes mismos también pueden investigar.

Otro detalle a tener en cuenta es que estos sistemas numéricos antes nombrados, es que son  posicionales, (una misma cifra cambiará de valor dependiendo de su posición) pero existieron otros que no tenían esta característica, por ejemplo los números romanos, en los que los símbolos no cambiaban de valor según su posición.

Algunos ejemplos de números romanos son el I,  V, X, L, C, M, que representan el uno, cinco, diez, cincuenta, cien y mil respectivamente, este sistema se volvió obsoleto por la gran dificultad que ofrecía para operaciones con números relativamente altos, por ejemplo imagine multiplicar 489 por 760 en números romanos.

Lo cierto es que el sistema decimal de numeración está extendido actualmente y con él trabajaremos en gral.

 

Las operaciones

 

Los números naturales tienen definidas 2 operaciones sin restricciones, estas son la adición y el producto (suma y multiplicación respectivamente) podemos luego trabajar con la sustracción y el cociente pero con restricciones, es así que para poder realizar una sustracción en el conjunto de los números naturales el primer número llamado minuendo debe ser mayor o igual al segundo (sustraendo), pues en caso contrario la operación no tiene resultado Natural.

Similarmente el cociente tiene algunas particularidades introduciendo el concepto de división entera y división exacta. (la primera posee resto no nulo)

Para aprender a operar con los naturales es preciso manejar las "tablas" de multiplicación, las mismas ya sean como un cuadro (vista inferior) o como una lista, nos facilitarán ampliamente el trabajo.

  1 2 3 4 5 6 7 8 9
  2 4 6 8 10 12 14 16 18
  3 6 9 12 15 18 21 24 27
  4 8 12 16 20 24 28 32 36
  5 10 15 20 25 30 35 40 45
  6 12 18 24 30 36 42 48 54
  7 14 21 28 35 42 49 56 63
  8 16 24 32 40 48 56 64 72
  9 18 27 36 45 54 63 72 81
                   

Más adelante continuaremos extendiendo los temas y trabajaremos ejercicios y problemas.


Número Natural

 

 

Algo mas formal



 

En Matemáticas, existen dos convenciones para el conjunto de los números naturales: es o bien el conjunto de los enteros positivos { 1 , 2 , 3 , ... } de acuerdo a la definición tradicional; o el conjunto de los enteros no negativos { 0, 1, 2, 3, ... } de acuerdo con la definición cuya aparición data del siglo XIX;
Los Números Naturales tienen dos grandes propósitos: contar("si hay 6 monedas en la mesa") y ordenar ("es la tercera ciudad en importancia"). Estos usos se relacionan a las nociones lingüísticas de cardinal y ordinal, respectivamente.
Las propiedades de los números naturales relacionadas con la divisibilidad, tales como la distribución de los números primos, se estudian en la "teoría de los números". Los problemas concernientes al conteo y el orden, tales como orden de subconjuntos, se estudian en combinatoria.

Historia de los números naturales y el status del cero.
Los números naturales tuvieron sus orígenes en las palabras usadas para contar cosas, comenzando con el número 1.
El primer avance importante en la abstracción fue el uso de numeración para representar cantidades, esto permitió que se desarrollaran sistemas para registrar grandes cantidades. Los antiguos Egipcios desarrollaron un poderoso sistema de numeración con distintos jeroglíficos para el 1 y el 10 y todas las potencias de 10 hasta el millón. Los Babilonios tenían un sistema posicional basado esencialmente en las posiciones de los números 1 y 10.
Un avance mucho más tardío en la abstracción fue el desarrollo de la idea del 0 como un número con su propio cardinal. El dígito cero había sido usado en notaciones posicionales en épocas tan tempranas como el 700 AC por los Babilonios, pero ellos lo omitían cuando éste ocupaba el último lugar en los números. Los Olmecas y los Mayas usaron el 0 como número aparte en el siglo 100 AC pero su uso no se extendió mas allá de Mesoamérica. El concepto usado en tiempos modernos se originó con el matemático Indio Brahmagupta en el 628. Sin embargo los calculistas medievales (como las personas ocupadas en determinar la fecha de la pascua), comenzando con Dionysius Exiguus en el 525, usaron el 0 como número sin usar el sistema romano para escribirlo, en vez de ello usaban nullus, el término en Latín para "nada".
El primero estudio sistemático de los números como entidades abstractas se les acredita a los filósofos Griegos Pitágoras y Arquímedes, Nótese que para muchos matemáticos griegos el 1 no era considerado como un número, así que para éstos el 2 era el menor número.
Muchas definiciones en teoría de conjuntos naturales se desarrollaron en el siglo XIX. Con esas definiciones se consideraba conveniente incluir el 0 (correspondiente al cardinal del conjunto vacío) como número natural. Incluir el 0 es ahora una convención normal entre estudiosos de la lógica y la teoría de conjuntos así como en las ciencias de la computación.
Los matemáticos usan N o \mathbb{N} para referirse al conjunto de los números naturales. Este conjunto se llama infinito numerable, (infinito pero contable) por definición .
Esto también se expresa diciendo que el cardinal del conjunto es aleph sub cero  (\aleph_0).
Para no ser ambiguos con la teoría acerca de si el cero pertenece al conjunto o no se agrega un sub 0 o un *

\mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}; \quad  \mathbb{N}^* = \mathbb{N}_1 = \{ 1, 2, \ldots \}.

 

Propiedades Algebraicas



La adición (suma) y el producto (multiplicación) de números naturales poseen varias propiedades algebraicas.
Clausura en la adición y producto, para cualquier par de naturales a y b, tanto a + b como a x b son números naturales.
Asociatividad: para toda terna a, b, c, se cumple que a + (b + c) = (a + b) + c y  a x (b x c) = (a x b) x c
Conmutatividad: para todos los naturales a y b, se cumple que a + b = b + a , a x b = b x a
Existencia de neutro: para cada natural a se tiene que a + 0 = a y a x 1 = a
Propiedad distributiva de la multiplicación con la adición de naturales a, b, y c tenemos que a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Absorción: Si a y b son números naturales y se tiene que a x b = 0 entonces o bien a = 0 o b = 0.

 

Propiedades.



Uno puede definir recursivamente la adición de números naturales estableciendo a + 0 = a y a + S(b) = S(a + b) para todo a y b. Aquí S debe leerse como "siguiente". Esto convierte a los números naturales (N, +) en un monoide conmutativo, con elemento neutro 0, es entonces llamado monoide libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad concelativa y puede ser incluido en un grupo. El grupo más pequeño que contiene a los naturales es el conjunto de los Enteros.
Si definimos a 1 como S(0), entonces b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) a ≤ b= S(b). que es b + 1 o simplemente el siguiente de b.
Análogamente a la adición se puede definir el producto x tal que a × 0 = 0 y a × S(b) = (a × b) + a. Esto convierte a (N*, ×) en un monoide libre conmutativo con elemento neutro 1; un a ≤ b, then a + c ≤ b + c and ac ≤ bcconjunto generador para este monoide es el conjunto de los números primos. La adición y el producto son compatibles, como se demuestra en la ley distributiva  a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
Esas propiedades del producto y de la adición hacen de los naturales una instancia de un semianillo conmutativo. Los semianillos son una generalización algebraica de los números naturales donde el prducto no es necesariamente conmutativo. La falta de inversos aditivos, lo que es equivalente al hecho de que N no es cerrado bajo la sustracción, significa que N no es un anillo, en vez de esto es un semianillo.

Más adelante se define un "orden total" en los números naturales, escribiendo que a ≤ b si y sólo si existe otro número natural c tal que a + c = b. Este orden en los naturales es compatible con la idea de las operaciones aritméticas en el sentido de lo siguiente: su a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c y ac ≤ bc. Una propiedad importante de los números naturales es que son "bien ordenados": todo conjunto no vacío de números naturales tiene primer elemento, el rango entre conjuntos bien ordenados se expresa con un ordinal, para los naturales éste se simboliza por "ω".
Mientras no siempre es posible dividir un natural entre otro obteniendo así otro natural como resultado, el procedimiento de dividir con resto existe como sustituto, para cualquier par de números naturales a y b con b ≠ 0, podemos hallar q y r únicos tal que a = bq + r and r < b.
El número q es llamado cociente y r es el resto de la división entre a y b, estos valores quedan unívocamente determinados.

 


Axiomática de Peano

 

 

 

 

 

Los axiomas de Peano dan una teoría formal de los números Naturales. Estos son:

 

  • Existe un número natural 1
  • Todo número natural a tiene un siguiente, llamado S(a). Intuitivamente S(a) = a + 1
  • No existe natural cuyo siguiente sea 1
  • Dados 2 naturales distintos, éstos tienen siguientes también distintos si a ≠ b, entonces S(a) ≠ S(b).
  • Si 1 cumple una propiedad y ésta es cumplida por los siguientes de todos los naturales que la cumplen, entonces la propiedad se cumple para todos los números naturales. (este postulado asegura la validez de la inducción completa.)

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