Número Real

Introducción a los Números Reales

________Si bien existen varios métodos para introducir a los números Reales, tomaremos dos que consideramos fundamentales.

El primero, es el dado por el proceso histórico; esto es, la introducción de los números naturales y sus operaciones junto con los procesos que fueron dando lugar a la construcción de los distintos conjuntos (Enteros, Racionales, etc) explorando y dando solución a las limitaciones formales y de operatoria que se iban sucediendo.
Según esta concepción entonces, las limitaciones en la sustracción en el conjunto de los naturales dieron lugar a la definición del conjunto de los Enteros, y a su vez las limitaciones en el cociente de enteros llevó a la necesidad de los números Racionales, un paso menos intuitivo es el dado para lograr la definición y/o necesidad de los números reales.
Los griegos, en la antigüedad se ocupaban de resolver problemas matemáticos y estudiar las propiedades de los números,  gracias a ellos es que nosotros llegamos  a conocer su importancia y a desarrollar las actuales teorías numéricas .

Es así que se atribuye a los griegos, por sus estudios en geometría; el planteo de la necesidad de ampliar los conjuntos conocidos hasta el momento, si bien ellos nunca llegaron a una construcción formal de los Reales, notaron por ejemplo que la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tenían medida 1, no correspondía con ningún número conocido (no se podía representar como cociente de un entero y un natural) o la relación dada entre la medida del radio de un círculo y la medida de su circunferencia (pi) tampoco corresponde a un número Racional.

De allí la necesidad de definir un nuevo conjunto de números llamados "irracionales" (por no pertenecer al conjunto de los racionales) que podríamos sin ser formalistas, definir como aquellos que no pueden ser representados como cociente de un Entero y un Natural. (recuérdese que ésta era la def. de los Racionales).

Más adelante y mediante trabajos que no vale la pena profundizar en éste momento, se llegó a la conclusión que los irracionales superan ampliamente en cantidad a los números racionales. Sin embargo lo que nos convoca en éste momento es el conjunto que obtenemos como unión de los racionales y los irracionales llamado Conjunto de los Números Reales.
Éstos se notarán mediante el símbolo  \mathbb R y tienen definidas las operaciones hasta ahora vistas (adición, sustracción, cociente y producto) sin restricciones (excepto por el cociente entre 0 que no está definido) y algunas otras que se trabajarán.

La segunda teoría, que data del siglo XIX, es la que detalla una construcción basada en 10 axiomas, y todas las propiedades de los números Reales están entre ellos o se deducen a partir de los mismos.

Ésta es una construcción formal; basada entonces en axiomas, en la que tendremos en cuenta que mientras no se exprese otra cosa, cualquier letra minúscula representa a un número Real.
Los axiomas se agrupan en 3 grupos, los axiomas de cuerpo, axiomas de orden y del extremo superior (llamado también axioma de completitud o de continuidad).

 

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