Geometría

 

 

Para comenzar

 

El estudio de la geometría como rama de la matemática en realidad se ha convertido en algo mucho más complejo de lo que a primera vista aparenta, poco a poco hemos notado que debemos dejar de lado clasificaciones importantes al hacer un estudio general, nos referimos al hecho de que la geometría en sí misma se divide en varias ramas, a saber: geometría descriptiva, geometría analítica, geometría plana etc.

La importancia histórica que el estudio de la geometría ha tenido en el desarrollo de la matemática, de la arquitectura, biología, astronomía y ciencias en general no tiene igual, los principales monumentos arquitectónicos como las pirámides de Egipto, o el Partenón en Grecia, el Taj Mahal son muestras del potencial ilimitado que presenta el manejo de ésta herramienta, las simetrías presentadas por éstas y otras obras de arte, y el uso en general de la simetría para representar objetos en la pintura o la escultura, el dibujo de planos, en fin podrá encontrarse una impresionante gama de razones por las cuales la geometría ha influido en las distintas épocas dejando siempre una huella que perdura hasta nuestros días, la exploración espacial propició un estudio muy minucioso de la geometría del espacio, y dejemos por ahora los aportes al álgebra y las investigaciones de espacios n-dimensionados.

Debemos estudiar entonces con detenimiento, y enseñar con entusiasmo geometría, recordando cómo fomenta la imaginación, desarrolla las habilidades motrices y el uso de herramientas de precisión como el compás o el semicírculo, propicia un entorno de trabajo que fácilmente se puede orientar a la resolución de problemas, y lo más importante es que no es limitada a ciertas edades; desde los más pequeños hasta los científicos más avanzados, pueden aprovechar la geometría para construir conocimiento. 

 

Fundamentos para la construcción de la teoría

 

En sus comienzos la geometría se desarrolló como un conjunto de reglas y conocimientos empíricos, obtenidos por vía experimental. Luego se le organizó deductivamente por los griegos. Dado que en matemática en general y en geometría en particular el deducir una proposición es consecuencia de otras anteriormente probadas, deberemos detenernos en algún momento y referirnos a ciertas proposiciones elementales, o irreducibles, cuya validez resulta obvia, el nombre que damos a estas verdades es axiomas o postulados, y el nombre dado a las proposiciones demostrables que se desprenden de las anteriores es teoremas.

De la misma manera que los axiomas no se demuestran, tenemos conceptos primarios que no se pueden definir, pues su misma forma no permite referir a conceptos mas sencillos; para ello también podemos utilizar a los axiomas, refiriéndonos a ellos de forma indirecta, estableciendo sus propiedades esenciales.

Debemos referirnos entonces al conjunto de axiomas o sistema de axiomas, que nos darán el marco referencial para la construcción de la teoría en la geometría, recordando siempre que como una construcción, la misma proposición puede considerarse como axioma en nuestra teoría y como un teorema en otras, lo cierto es que lo buscado al realizar la sistematización de los contenidos de ésta teoría geométrica es la formulación de la menor cantidad de axiomas necesarios, sin incurrir en algún momento en contradicciones o incompatibilidades.

Es así que deberemos establecer reglas de base para cualquier sistema de axiomas que se desee trabajar, y éstos son:

-Los axiomas han de ser compatibles, o sea ninguno de ellos debe entrar en contradicción con los otros o alguna de sus consecuencias.

-Los axiomas deben ser independientes, o sea ninguno de ellos puede demostrarse como consecuencia de los demás.

La primera propiedad es necesaria para la validez del sistema que buscamos definir, en cambio la segunda apunta a la perfección o elegancia del sistema. La rama de la matemática que se ocupa del estudio de los sistemas de axiomas es la AXIOMÁTICA.

Los cinco gupos fundamentales de Axiomas

de la Geometría.

El estudio de la geometría es el conjunto de relaciones que ligan directa o indirectamente los elementos que constituyen a las figuras geométricas. Tomaremos de Hilbert una forma de agrupar o categorizar los axiomas en cinco categorías primarias.

1.- Relaciones de enlace o incidencia: éstas son del tipo "estar en", "pasar por", "unir" "cortar" etc.

2.- Relaciones de ordenación: como ser "estar entre", "separar", "preceder" o "seguir"

3.- Relaciones de igualdad o congruencia: referimos por ejemplo a la perpendicularidad o congruencia de triángulos.

4.- Relaciones de paralelismo.

5.- Relaciones de continuidad. Ejemplos, existencia de puntos de intersección entre figuras, o existencia del límite del perímetro de polígonos iscriptos en una circunferencia al aumentar el número de lados indefinidamente.

 

 

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