Límites y continuidad

 

La definición épsilon-delta de límite, es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

 

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

 

Continuidad de una función

 

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

La función existe en a.

Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.

El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

 

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.

 

Propiedades de las funciones continuas

 

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.

El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.

El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.

Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

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