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Funciones en Matemática

 

 

 

Aprende todo sobre

uno de los temas que

más complica a los estudiantes

 

 

En muchos ámbitos de la actividad humana particularmente en matemática  nos encontramos con relaciones entre conjuntos, los elementos de un conjunto se ven asociados a los elementos de otro conjunto. Algunos ejemplos son visibles en gráficas, cartogramas, mapas, tablas, fórmulas matemáticas, encuestas, en fin. En realidad estos métodos son utilidades para describir las relaciones de forma cuantitativa. Podemos afirmar que algunas de dichas relaciones son funciones. Iremos buscando una noción fundamental de función, para luego sí avocarnos a una definición formal  y el posterior trabajo con propiedades problemas y ejercicios.

 

El clásico ejemplo:
La fuerza necesaria para estirar un resorte de acero una longitud dada x a partir de su actual posición, es un valor proporcional a x; o sea F=cx, donde c es un valor constante que no depende de x (llamado la constante del resorte, pues es un valor propio de cada resorte). La anterior es la ley de Hooke, quién formuló la idea de que la fuerza es una función del alargamiento del resorte.

Ejemplo geométrico:
Sabemos que el área de una figura plana; por ej un cuadrado es dependiente de la longitud de su lado, o sea si el lado mide x, el área será dada por la fórmula A=x².

La palabra función fue introducida por Leibniz, que usaba el término para referirse a cierto tipo de fórmulas matemáticas, luego se fue desarrollando hasta llegar a la noción actual: Dados dos conjuntos A y B una función  es una ley que asocia a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B. El primero se llamará dominio de la función, mientras que los elementos de B que se asocian por medio de la función forman otro conjunto llamado recorrido de la función (aclaremos que no siempre es necesario que B coincida con el recorrido, y de allí su diferencia)
En Cálculo se toma particular interés en estudiar las funciones cuyo dominio  recorrido son conjuntos de números reales, las llamadas funciones de variable real o funciones reales, que además se representan mediante una gráfica en el plano, mediante dos rectas orientadas perpendiculares llamadas ejes, los mismos se distinguen como el eje X que representa el dominio y es llamado eje de las abcisas y el eje Y que representa el recorrido llamado eje de las ordenadas. Los ejes representan a su vez un sistema llamado Sistema de ejes cartesianos.

Definición Formal de Función

Debemos en principio formular algunos conceptos de los cuales nos valemos para dar la definición, cuando nos hemos referido a conjuntos hemos formulado la idea de que dos conjuntos son distintos si poseen distintos elementos, o sea; el orden no apareció como un factor de importancia, pues bien, al referirnos a funciones tomaremos el orden como un factor determinante, segùn nuestra anterior formulación al referir a funciones hablamos de elementos de conjuntos, pues bien podemos fácilmente hablar de pares de elementos tales que el primero pertenece al dominio y el segundo al recorrido; y allì nos dirigimos.

 

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función f es un conjunto de pares ordenados (x,y) ninguno de los cuales tiene el mismo primer elemento.

 


Principalmente, veremos que las funciones se representan mediante fórmulas matemáticas a las que pedimos que se realicen ciertos cálculos con el fin de presentar la información en ellas mediante gráficos o tablas, por ejemplo f(x)=x-1, es una función que podemos tabular asignando valores arbitrarios a la x (o sea a nuestro gusto) y calculando los resultados mediante la fórmula presentada "x-1"
entonces si x es 1 => x-1 es 0, si x es 2 => x-1 es 1 etc.

 


Operaciones con Funciones

 


Suma, producto y cociente de Funciones.


Sean f y g dos funciones reales que tienen el mismo dominio D; se pueen construir nueas funciones a partir de ellas mediante adición, producto o cociente de us valores. La función s deninida por:

s(x)= f(x)+ g(x) si x $\small\in$ D

se le llama suma de f y g y se representa por f+g. De igual manera u(x)=f.g será el producto y w=f/g es el cociente y se definien como sigue:
u(x)=f(x)g(x)  si x $\small\in$ D ,  w(x)=f(x)/g(x)  si x $\small\in$ D y g(x)$\small\not= 0$

Básicamente nos referimos al hecho de que dado que los dominios de las funciones son iguales, la manera de obtener las imágenes, será mediante la aplicación de lo anterior, para la suma bastará con sumar las imágenes de las funciones previas, para el producto multiplicaremos las imágenes de las funciones originales, etc.

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