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Ceros

 

 

 

Calculemos ahora los ceros, o puntos de corte con el eje de las X.
Esto lo realizamos igualando la función a 0 o sea planteando la ecuación:

y hallando para que valores de la variable, esto es cierto

Desarrollemos el cuadrado ahora pensemos en lo siguiente, tenemos el producto de dos expresiones, ahora ¿Cuándo el producto de dos números es igual a 0? Pues cuando uno de ellos es cero por supuesto, entonces sabemos por esto que la ecuación es igual a 0 cuando o bien x=0 o Resolvemos esto con la fórmula conocida y tenemos que:
x=3 (raíz doble).

Veamos un poco a que nos referimos, un polinomio real, deberá tener tantas raíces como sea el exponente de mayor orden, o sea; si un polinomio es de 2º grado, tiene 2 raíces, si es de 3º tiene 3 etc.
Por tanto, este polinomio que es de 3º grado (basta desarrollar la expresión aplicando distributiva) deberá tener 3 raíces.
Ellas son 0, 3 y 3.

Signo

 


Pasemos por tanto al estudio del signo, este trabajo supone averiguar en que momento la función se encuentra sobre el eje de las abcisas y cuando está por debajo.
Usaremos para ello las raíces calculadas, y una regla simple, el signo se calcula de derecha a izquierda, y se toma como signo original el que tiene el coeficiente de mayor orden, cada vez que nos encontremos con una raíz cambiaremos el signo, si nos encontramos con raíces dobles lo cambiamos 2 veces (regresando al original etc) así que en nuestra función el coeficiente principal es y tiene signo positivo, así que comenzamos con signo positivo.

SG _-__-_-_|_+__+_+__+_||_+_+__+_+
0           3  

La raíz doble 3 cambia el signo 2 veces y por tanto vuelve a ser positivo, en cambio la raíz simple 0 cambia el signo de la función, esto que significa, que la función está por debajo de el eje de las abcisas hasta llegar a 0 y luego se mantiene por encima, salvo en 3 donde es tangente.

Monotonía



Esto refiere a saber en que momentos la función es creciente y en qué momento es decreciente, e incluso a saber los máximos y mínimos relativos y absolutos.
Para ello usaremos la derivada primera, derivar un polinomio es simple, solamente debemos seguir la regla que y saber que la derivada de la suma es la suma de las derivadas; por lo tanto nuestra derivada será .

Ahora para calcular la monotonía caculamos ceros y signo (igual que antes) pero ahora el significado es el siguiente, los ceros de la derivada son los máximos y mínimos de la función y las partes de signo positivo indican crecimiento de la misma, mientras que los intervalos negativos son partes donde la función es decreciente.

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