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Estudio de Funciones

 

Una visión general para Estudio Analítico


Vamos a comenzar el trabajo con funciones, para aquellos que ya estén familiarizados con el tema, esto servirá de práctica, y para quienes todavía no manejen los conceptos, trataremos el tema de forma detallada.

En general el llamado trabajo con funciones se trata de el "Estudio Analítico y representación Gráfica", el mismo si bien puede variar de curso en curso, mantiene algunas principales características. Cuando se pida realizar el EAyRG (esa es la sigla) el procedimiento que seguiremos será el siguiente:


- Hallaremos el dominio de la función (en especial los puntos donde la función presenta problemas)
- Calcularemos los Ceros, o puntos de corte con el eje de las abcisas (o eje X)
- Realizaremos el llamado Signo de la función
- Estudiaremos la monotonía.
- Estudiaremos Concavidad.
- En caso de existir, estudiaremos las asíntotas.


Luego con esta información, estaremos en condiciones de realizar un gráfico aproximado de cómo se vería la función.
Claramente se supone que el lector ya conoce los ejes cartesianos, el concepto de puntos en el plano representación de puntos en un par de ejes y nociones básicas de funciones

Comencemos el trabajo con esta función:

$f(x)=x(x-3)^2$

Dominio

 

Hallemos el dominio, para ello debemos preguntarnos, existe algún valor de x que no podamos elegir.
A primera vista todos los números reales pueden elegirse, y así es, pero ¿Cuándo es que existen problemas? y ¿Cómo los detectamos? Simplemente tomando algunas reglas:

1.- Sabemos que no se puede dividir entre 0, así que si se presenta una división debemos excluir esos valores.
2.- Las radicación sólo está definida para los reales positivos (por el momento) así que bajo una zaíz de cualquier orden, sólo podrán haber valores positivos.
3.- El logaritmo, debe ser positivo. Se excluirán valores que no cumplan esa ley.

Por lo tanto es justo decir que las funciones que no posean esos problemas, tendrán como dominio el conjunto que nos hayan definido en el problema, o en general los números reales.
En particular afirmaremos que las funciones polinómicas no presentan indeterminaciones.(nuestro ejemplo)

Por lo tanto el dominio es el conjunto de los números Reales $\mathbbR$


 

Ceros

 

 

 

Calculemos ahora los ceros, o puntos de corte con el eje de las X.
Esto lo realizamos igualando la función a 0 o sea planteando la ecuación:

$x(x-3)^2=0$ y hallando para que valores de la variable, esto es cierto

Desarrollemos el cuadrado $x(x^2-6x+9)=0$ ahora pensemos en lo siguiente, tenemos el producto de dos expresiones, ahora ¿Cuándo el producto de dos números es igual a 0? Pues cuando uno de ellos es cero por supuesto, entonces sabemos por esto que la ecuación es igual a 0 cuando o bien x=0 o $x^2-6x+9=0$ Resolvemos esto con la fórmula conocida $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ y tenemos que:
x=3 (raíz doble).

Veamos un poco a que nos referimos, un polinomio real, deberá tener tantas raíces como sea el exponente de mayor orden, o sea; si un polinomio es de 2º grado, tiene 2 raíces, si es de 3º tiene 3 etc.
Por tanto, este polinomio que es de 3º grado (basta desarrollar la expresión aplicando distributiva) deberá tener 3 raíces.
Ellas son 0, 3 y 3.

Signo

 


Pasemos por tanto al estudio del signo, este trabajo supone averiguar en que momento la función se encuentra sobre el eje de las abcisas y cuando está por debajo.
Usaremos para ello las raíces calculadas, y una regla simple, el signo se calcula de derecha a izquierda, y se toma como signo original el que tiene el coeficiente de mayor orden, cada vez que nos encontremos con una raíz cambiaremos el signo, si nos encontramos con raíces dobles lo cambiamos 2 veces (regresando al original etc) así que en nuestra función $x^3-6x^2+9x$ el coeficiente principal es $x^3$ y tiene signo positivo, así que comenzamos con signo positivo.

SG _-__-_-_|_+__+_+__+_||_+_+__+_+
0           3  

La raíz doble 3 cambia el signo 2 veces y por tanto vuelve a ser positivo, en cambio la raíz simple 0 cambia el signo de la función, esto que significa, que la función está por debajo de el eje de las abcisas hasta llegar a 0 y luego se mantiene por encima, salvo en 3 donde es tangente.

Monotonía



Esto refiere a saber en que momentos la función es creciente y en qué momento es decreciente, e incluso a saber los máximos y mínimos relativos y absolutos.
Para ello usaremos la derivada primera, $f'(x)=(x^3-6x^2+9x)'$ derivar un polinomio es simple, solamente debemos seguir la regla que $(x^n)'=nx^{n-1}$ y saber que la derivada de la suma es la suma de las derivadas; por lo tanto nuestra derivada será $f'(x)=3x^2-12x+9$.

Ahora para calcular la monotonía caculamos ceros y signo (igual que antes) pero ahora el significado es el siguiente, los ceros de la derivada son los máximos y mínimos de la función y las partes de signo positivo indican crecimiento de la misma, mientras que los intervalos negativos son partes donde la función es decreciente.


 

Concavidad

 

 


La misma se halla mediante la derivada segunda de la función $f''(x)=(x^3-6x^2+9x)''$ la cual se halla derivando la derivada primera, por tanto $f''(x)=(3x^2-12x+9)'$ o sea $f''(x)=6x-12$
Calculamos ceros y signo y ahora el significado del signo es el siguiente, valores positivos indican que la gráfica tiene concavidad positiva y por lo tanto una forma en U mientras que la concavidad negativa corresponde a la parte de signo negativo y la gráfica tiene una forma en n.
Los ceros de la derivada segunda se llaman puntos de inflexión y refieren a cambios de concavidad.

Asíntotas

 


Son rectas que se aproximan al gráfico de la función marcando una dirección hacia donde la función "tiende" en los extremos infinitos, o sea que nos dice como será la función en lugares muy lejanos de nuestra gráfica, la explicación depende del tipo de función y de donde se sacó dicha función, se pueden llegar a ver explicaciones muy interesantes para funciones de la vida real.

Las asíntotas serán buscadas con estas reglas:

Si existen puntos donde el dominio no exista, cacularemos los límites laterales de ese punto, si

$\lim_{x\to a^-}f(x)=\infty$ o (siendo a el punto en cuestión)
$\lim_{x\to a^+}f(x)=\infty$ entonces nos encontramos ante una asíntota vertical.

En cambio si $\lim_{x\to \infty}f(x)=b$ (siendo b cualquier número) entonces la recta y=b es asíntota horizontal

Asíntota oblicua

 


si el límite de una función cuando x tiende a infinito nos da infinito probaremos si $\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=m$ y $\lim_{x\to \infty}(f(x)-mx)=b$
Entonces existe una asíntota oblicua cuya ecuación es y=mx+n

En este caso no presenta asíntotas, puesto que no presenta puntos de no existencia, el límite en los extremos es infinito pero al dividir entre x no obtenemos ninguna constante.


 

Representación Gráfica

 

 


 

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