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Representación gráfica

de una función

 

 

Fundamentos de Funciones

 


Para representar gráficamente una función, primero debemos saber ¿Qué es una función?, luego es conveniente que conozcamos los sistemas de coordenadas y sus propiedades, como ubicaremos un punto y luego todos los puntos de la función.



Pero para comenzar ¿Qué es y para que sirve una función? la primera parte puede responderse fácilmente mediante una definición matemática como la que muestra el link, la segunda parte de la pregunta es un poco más complicada.
La idea general cuando los matemáticos buscaban explicar sucesos de la naturaleza o de la vida en general, no olvidemos que los principales matemáticos a lo largo de la historia eran investigadores que estudiaban física, biología, química y en general desarrollaban el conocimiento científico usando la matemática como una herramienta para explicar o para llegar a nuevas conclusiones.

Es así que poder encontrar expresiones que explicaran y permitieran preveer comportamientos en la naturaleza, resultaba de sumo interés para cualquier investigador del mundo científico; por ejemplo, poder explicar porqué un objeto cae a una velocidad determinada, o adelantar el lugar donde impactará un proyectil, resultaba de gran interés para muchas personas (y aún continúa siendo así).

Pero entonces que es una función realmente, digamos que es un elemento matemático que encierra cierta información que cualquier persona con las herramientas correctas podrá descifrar. La complejidad de nuestra función dependerá de que tipo de suceso pretendemos explicar, esto significa, las funciones más simples son en general usadas para iniciarse en el estudio de la matemática, pero realmente está limitada la cantidad de situaciones de la realidad actual que se puede explicar a partir de ellas.
Consideremos las funciones polinómicas el caso más simple, y dentro de ellas veamos las funciones lineales, el caso inicial para cualquier trabajo en funciones.

Al hablar de funciones debemos saber que en matemáticas hay ciertas condiciones generales que conviene conocer:
En general al referirnos a una función veremos el símbolo f(x), (se lee f de x) esto implica que hablamos de una función f y que nuestra variable es x, esto no es obligatorio dado que podemos usar cualquier letra para referirnos a una función y a una variable, pero la notación mas usada es la anterior.

Cabe explicar que según la definición una función es una relación entre dos conjuntos, y por tanto aunque no siempre se escriben los conjuntos en los que estamos trabajando, esto debe conocerse, cuando no se escribe ningún conjunto como dominio y/o codominio, se supone que la función tiene dominio y codominio real. (el conjunto de los números reales)
De otra forma se explicará a la persona cuales son el dominio y codominio de la función.

Esto se hace usando la siguiente expresión que significa que f(x) es una función de dominio Natural (conjunto de los números Naturales) y codominio real (Conjunto de los números Reales), esto condiciona nuestro resultado de manera importante, a la hora de explicar los resultados.
Veamos algunos ejemplos de funciones.



 

 

La función Lineal

 


Hablamos básicamente de una función polinómica de primer grado, esto implica que su forma es del tipo f(x)= ax + b donde a y b son dos números.

Ejemplo f(x)=3x+2,

 

como siempre cada uno de estos números tiene su nombre, a es el coeficiente principal y b el término independiente.
Aunque a primera vista no parece que exista mucha información para extraer de esta simple expresión, esto no es cierto para nada, simplemente hay que saber qué se busca.

Vamos a explicar algunos detalles, la función es lineal, pues su representación gráfica es una linea recta, cada número tiene además información útil que vamos a descifrar, el coeficiente principal es además la pendiente de la recta, la pendiente es un valor que nos permite conocer la inclinación de la recta, ¿para qué? bueno esto dependerá de el origen de nuestra función, a nivel matemático podemos decir que una gráfica muy inclinada nos informa que al crecer la variable los resultados crecen poco, y una gráfica muy cercana a la vertical nos dirá que al crecer la variable x el valor de la función crece bastante.

Un ejemplo: una función explica el aumento de sueldo en función de la edad del trabajador, necesitamos saber si la edad es un condicionante importante a la hora de calcular el sueldo de una persona, si nuestra gráfica muestra una inclinación pronunciada, esto se puede decirnos que la edad no es un factor muy determinante a la hora de ver los sueldos, en realidad que la edad debe variar mucho para que halla una variación importante en el sueldo;

 

si en cambio la recta está cercana a la vertical, esto nos diría que con una variación pequeña de la edad los sueldos crecen bastante. (es una explicación simplificada y no cercana a la realidad lo sé!)

 

Aún más el signo de la pendiente nos da información, si el signo es positivo, entonces la gráfica es creciente en cambio si el signo es negativo la gráfica es decreciente.
El término independiente también nos da su parte de información, a partir de él podemos obtener la ordenada en el origen o punto de corte con el eje de las Y.

En nuestro ejemplo de arriba el corte con y es en A(0,2) la pendiente es positiva (función creciente).

Es bueno recordar en este momento que las rectas pueden determinarse a partir de dos puntos, no precisamos más, en matemática una de las convenciones al trabajar con funciones es elegir 2 puntos muy especiales para calcular, no es que no se pueda elegir otros, simplemente por conveniencia (que entenderán más adelante) se usan estos dos:

- raíz o cero de la función (corte con el eje de las X)
- ordenada en el origen (corte con el eje de las Y)

¿Cómo encontramos cada uno de ellos?






 

Cálculo de raíces de una función Lineal



Las raíz de una función lineal es el resultado de igualar la ecuación de la función a 0. luego despejamos x y obtenemos el punto de corte con el eje de las X (ver resolución de ecuaciones lineales)


La ordenada en el origen se obtiene sustituyendo la x por 0 y calculando el resultado de la ecuación, o lo que es lo mismo en este caso, la ordenada en el origen siempre es el término independiente.




Representación Gráfica de Funciones
 


Para conocer un poco más de la representación gráfica de funciones, debemos conocer los ejes Cartesianos o ejes de Coordenadas.
Los ejes de coordenadas son 2 rectas orientadas perpendiculares cuya intersección se llama origen. En el eje X (eje horizontal o eje de las abcisas) los valores a la derecha del origen son positivos y crecen al alejarse del origen.
En el eje Y (eje vertical, o eje de las ordenadas) los valores superiores al origen son positivos y crecen al moverse hacia arriba.

Con esta configuración y un poco más de información estamos en condiciones de ubicar cualquier punto en el plano. Necesitamos eso sí conocer antes que nada algunos detalles:
Cada punto tiene 2 coordenadas que son un par ordenado (eso significa que no se pueden cambiar de lugar). Un punto en el plano queda determinado por su coordenada x y su coordenada y (x,y) siempre el primer número corresponde a la coordenada x y el segundo a la coordenada y (sin excepción).
Por ejemplo si queremos ubicar el punto P(2,3) en rojo; debemos movernos 2 lugares a la derecha y 3 hacia arriba
El punto azul Q(1,9) es el segundo mostrado, el tercero es N(5,1) en verde.


Otros sistemas de coodenadas
 


Existen también otros sistemas de coordenadas, como el polar, para ello necesitamos un vector que nos marcará la posición de un punto en el plano en todo momento, tenemos también marcado el origen de nuestro sistema , que es el punto de aplicación del vector y tenemos también un eje horizontal; el módulo del vector es la distancia entre el origen y el punto buscado y el argumento es el ángulo entre el vector y la horizontal.
Más adelante hablaremos más acerca de coordenadas polares.



Ejercicios:

 



Ubica los siguientes puntos en un sistema Cartesiano

A(1,2)          G(4,3)
B(1,3)        H(3,3)
C(2,1)        I(1,11)
D(10,5)        J(4,9)
E(6,8)        K(8,1)

Traza las rectas

AH
DC
BK
IJ
DE
AK

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