Ejercicios y Problemas de Matemática

Trigonometría

La trigonometría es la rama de la matemática que estudia los triángulos, en particular los triángulos rectángulos. La trigonometría trabaja con las relaciones que existen entre la medida de los lados de un triángulo y los ángulos del mismo utilizando funciones especiales llamadas funciones trigonométricas, que en general describen esas relaciones, aunque también se aplican a ángulos en general e incluso en física para el trabajo con ondas, las antiguas tablas trigonométricas nos daban acceso a los valores asociados a cada ángulo por medio de las funciones trigonométricas, incluso uno podía encontrarse ante la necesidad de interpolar valores, lo que añadía un desafío más al cálculo (o una complicación, según se vea).

Hoy por hoy la tarea es mucho más amena gracias a las calculadoras que nos entregan resultados casi instantáneos,  sin embargo la trigonometría se encuentra lejos de ser un área de estudios fácil para los estudiantes, a pesar de que se comienza a trabajar en su interacción con triángulos,  y a pesar de que su utilidad es bastante importante en muchos casos para variedad de cálculos y para una serie de oficios, en general se muestra como una enemiga de los alumnos.

Es considerada una máxima de la geometría (una ley bastante conocida) que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180º, con este conocimiento podemos conocer para cualquier triángulo la medida de todos sus ángulos ni bien conozcamos la medida de dos de ellos, o sea; si conocemos la medida de 2 ángulos de un triángulo, la medida del tercero se puede conocer aplicando la ley anterior.

Nuestro problema, es que no siempre se podrán conocer la medida de los ángulos, pero si por ejemplo la medida de algún lado, y algún ángulo y es allí donde las nociones que vamos a trabajar resultan útiles, es allí donde encontramos la verdadera utilidad a la trigonometría.
Si nosotros tuviéramos la medida de 2 lados en un triángulo rectángulo, simplemente aplicaríamos el teorema de Pitágoras y hallaríamos la medida del tercero, ahora si nuestro dato es la medida de un lado y la de un ángulo la solución es otra.

Nos centraremos en el trabajo con triángulos rectángulos, los lados de esta figura se llamarán catetos e hipotenusa. La hipotenusa es el lado de mayor medida, y es el que se opone al ángulo recto, los catetos son los otros dos lados. Si tomamos como referencia uno de los ángulos del triángulo ABC, digamos el A por ejemplo, al cateto que se opone al ángulo lo llamaremos cateto Opuesto, y al otro cateto lo llamaremos cateto adyacente (ver figura)

Por supuesto que el trabajo se enfocará en trigonometría plana y no trigonometría esférica, por ejemplo, dado nuestro ámbito de trabajo.

La función Seno

La función seno se define como la relación que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa

La función coseno

La función coseno se define como la relación que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa

La función tangente

La función tangente se define como la relación que existe entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Donde además   representa la medida del ángulo elegido (en todos los casos).

Las recíprocas de éstas funciones trigonométricas son, la cosecante, la secante y la cotangente, respectivamente. Las funciones inversas se llaman arcoseno, arcososeno y arcotangente respectivamente. Existen relaciones entre éstas funciones que son llamadas identidades trigonométricas.