Problema Resuelto sobre

Semejanza de Triángulos

 

Dados 2 triángulos semejantes cuya razón de semejanza es r, demostrar que la razón entre las áreas
es $r^2$



Demostración:

Dado que para que dos triángulos sean semejantes se necesita que el cociente entre los lados homólogos
sea una constante llamada razón de semejanza tenemos que:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}= r$


podemos considerar que la altura de los triángulos cumple la misma propiedad:


Sabemos que $A_1=\frac{b_1.h_1}{2}$ y $A_2=\frac{b_2.h_2}{2}$
$\frac{A_1}{A_2}=\frac{\frac{b_1.h_1}{2}}{\frac{b_2.h_2}{2}}$
por propiedad de las fracciones:
$\frac{A_1}{A_2}=\frac{b_1.h_1(2)}{b_2.h_2(2)}$
$\frac{A_1}{A_2}=\frac{b_1.h_1}{b_2.h_2}$ dado que
$\frac{b}{b'}= r$ y $\frac{h}{h'}= r$ tenemos que
$\frac{A_1}{A_2}=r.r$ o sea $\frac{A_1}{A_2}=r^2$

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