Problema complejo

 

Vamos a obtener la deducción de la siguiente afirmación:

 

El inverso de z es $z^{-1}={1\over z}$ entonces la fórmula sería:
$\left({a \over {a^2+b^2}}, {-b \over {a^2+b^2}}\right)$

Procedamos no sin antes recordar las definiciones de las operaciones de producto y cociente de complejos:

Producto $(a,b).(b,c)=(ac-bd,ad+cb)$

Cociente ${(a,b)\over (b,c)}= {(ac+bd,bc-ad) \over {c^2+d^2}} = \left({{ac+bd} \over {c^2+d^2}},{bc-ad \over {c^2+d^2}}\right)$

 

 

Perfecto, pasemos ahora a nuestro problema deducir el inverso de un complejo:

Si  $z^{-1}={1\over z}$ entonces $(a,b)^{-1} = {1 \over (a,b)}$ pero como ambos números son complejos usaremos la notación ${(1,0)\over (a,b)}$ usando ahora el cociente entre complejos, tenemos que ${(1,0)\over (a,b)}={(1.a+0.b,0.a-1.b) \over a^2+b^2}=\left({a\over a^2+b^2},{-b\over a^2+b^2}\right)$

Vamos por otro tema de complejos:


Deducir que el cociente de dos complejos${z\over w}=z.w^{-1}$, entonces la fórmula para este cociente es:
$\left({(ac+bd) \over {c^2 + d^2}},{(bc-ad) \over {c^2+d^2}}\right)$

Hagámoslo, primero hallemos $w^{-1}$ siendo $ w=(c,d)$ (de igual forma tomaremos a $v=(a,b)$ pero más adelante)  si $ w=(c,d) \Rightarrow w^{-1}= \left({c\over c^2+d^2},{-d\over c^2+d^2}\right)$

Usaremos ahora el producto de complejos para obtener: $v.w=(a,b).(c,d)^{-1} \Rightarrow (a,b).\left({c\over c^2+d^2},{-d\over c^2+d^2}\right)$ multuplicando tenemos $\left({ac\over c^2+d^2}+{bd\over c^2+d^2},{-ad\over c^2+d^2}+{cb\over c^2+d^2}\right)$ o mas corto $\left({ac+bd\over c^2+d^2}, {bc-ad\over c^2+d^2}\right)$

Additional information