Problemas Ecuaciones

Cuadráticas

 

Problema 1

Un rectángulo tiene un perímetro de 60m y un área de 200m². Halla el largo x y el ancho y, del rectángulo tal que x>y.

El trabajo involucra las siguientes fórmulas

 

$Á=b\times h=200$

$P=2b+2h=60$

Como deben cumplirse ambas propiedades a la vez es razonable suponer que nos encontramos ante un sistema de ecuaciones, por lo que vamos a despejar una incógnita en una de ellas y sustituirla en la otra:

$P=2b+2h=60\Rightarrow b+h=30 \Rightarrow b=30-h$

$A=(30-h)\times h=200\Rightarrow 30h-h^2=200\Rightarrow h^2-30h+200=0$

$h^2-30h+200=0$ Es nuestra ecuación cuadrática que resolveremos usando la fórmula conocida:

$\frac{+30\pm\sqrt{30^2-4(1)(200)}}{2(1)}$

$\frac{30\pm 10}{2}\Rightarrow x_1=20\hspace{12pt} x_2=10$

Tomemos los dos valores de x (base) y vayamos a la primera ecuación, de allí podemos saber que nuestras alturas pueden

ser $h_1=10\hspace{12pt} h_2=20$ respectivamente, pero como la condición inicial es que x debe ser mayor que y entonces

la solución en x=20 e y=10.




 

Problema 2

La suma de los cuadrados de dos reales consecutivos es 61. Encuentra los números.

Llamemos a nuestros valores buscados x y (x+1), sus cuadrados sumados son:
$x^2+(x+1)^2=61$ desarrollemos un poco:$x^2+x^2+2x+1=61$

$2x^2+2x+1-61=0\Rightarrow 2x^2+2x-60=0$

Hallemos las raíces de nuestra ecuación, nuevamente usaremos la conocida fórmula:

$\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(2)(-60)}}{2(2)}\Rightarrow \frac{-2\pm 22}{4}$

$x_1=5\hspace{12pt} x_2=-6$ De esos valores podemos deducir que los pares son 5 y 6 o -6 y -5, ambas soluciones son posibles.

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