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Estudio Analítico

 

y Representación Gráfica

 

 

 

 

 

Dado que ya contamos con una sección dedicada a el EAyRG de funciones, pasaremos a la resolución de este tipo de Ejercicios

 

Nuestro ejemplo será la función polinómica:

 

 



$f(x)=2x^3-3x^2$

Comencemos con el trabajo.

 

 

 

Dominio

 

 

 


Dado que como comentamos antes es una función polinómica, no posee puntos indeterminados y por tanto el dominio es el conjunto de los reales.

 

Ceros

 

 

 


Debemos saber que al ser de 3º grado contará con 3 raíces, que son 0 (doble) y 3/2 calcularlas procedemos

$f(x)=2x^3-3x^2=0\Rightarrow x^2(2x-3)=0$ de lo cual sabemos que se cumple para x²=0 y para $2x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$

 

Signo

 

 

 


El coeficiente principal es negativo así que la función es positiva en $(\frac{3}{2},+\infty)$ y negativa en $(-\infty, \frac{3}{2})$

 

Monotonía

 

 

 


La derivada primera es $f'(x)=6x^2-6x$ y por tanto sus máximos y mínimos son

$6x^2-6x=0\Rightarrow x(6x-6)=0$ x=0 y x=1 por el signo sabemos que el máximo está en 0 y el mínimo en 1, la función es creciente en $(-\infty,0)\cup (1,+\infty)$ y decreciente en $(0,1)$

 

Concavidad

 

 

 


La derivada segunda es $f''(x)=12x-6$ que es cero en x=1/2 y por el signo sabemos que es negativa en $(-\infty, \frac{1}{2})$ y positiva en $(\frac{1}{2},+\infty)$ con un punto de inflexión en $\frac{1}{2},\frac{-1}{2}$

 

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