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Geometría

 

Movimientos

 

 

 

Ejercicio 1- ¿Cuántas rectas determinan n puntos no alineados tres a tres?

Ejercicio 2- ¿Cuántos planos determinan n puntos no coplanares cuatro a cuatro?

Ejercicio 3- Llámase cuadrilátero completo a la figura formada por cuatro rectas secantes entre sí dos a dos, sin que tres de ellas pasen por un punto, éstas rectas se llaman lados del cuadrilátero, y sus puntos de intersección vértices. Se llaman diagonales del cuadrilátero a las rectas que unen vértices no situados en un mismo lado, ¿Cuántos vértices y cuántas diagonales tiene un cuadrilátero completo?

Ejercicio 4- Llámese cuadrivértice completo a la figura formada por cuatro puntos coplanarios no alineados tres a tres, llamados vértices, y las rectas que los unen dos a dos llamados lados. Llámese puntos diagonales del cuadrivértice los puntos de intersección de los lados no concurrentes en un vértice ¿Cuántos lados tiene un cuadrivértice? ¿ Cuántos puntos diagonales tiene a lo sumo? ¿Podemos asegurar su existencia?

Demostrar:

Ejercicio 5- Dos triángulos de lados respectivamente paralelos tienen ángulos respectivamente iguales.

Ejercicio 6- Todo movimiento inverso del plano puede reducirse de infinitos modos al producto de una traslación por una simetría axial.

Ejercicio 7- Todo movimiento inverso del plano puede reducirse de infinitos modos al producto de una simetría central por una simetría axial.

Ejercicio 8- Todo producto de tres simetrías axiales respecto de tres ejes concurrentes (paralelos) es una simetría axial respecto a un eje concurrente a ellos.

Ejercicio 9- Dadas las tres simetrías s, s' y s'' respecto a tres ejes concurrentes o paralelos, la transformación (s s's'')² es la identidad. Se expresa (s s' s'')²=1.

Ejercicio 10- Si g es un giro de centro O y s una simetría respecto de un eje que pasa por O, se verifica que sgs=g^-1 (o sea el giro recíproco de g)

Ejercicio 11- El producto de dos simetrías centrales respecto de dos centros O1 y O2 es una traslación equivalente al producto de dos traslaciones iguales O1O2.

Ejercicio 12- El prodicto de una simetría central de centro O por una traslación BB' es otra simetría de centro O' punto medio de O O1, siendo O1 el homólogo de O  en la traslación BB'.

Ejercicio 13- El producto de una traslación BB' por una simetría de centro O es una simetría de centro O'', punto medio de OO2, siendo O2 el homólogo de O en la traslación inversa B'B.

Ejercicio 14- Todas las simetrías del plano, junto con todas las traslaciones del mismo, forman un grupo. Este grupo no es abeliano.

Ejercicio 15- El producto de tres simetrías respecto de tres centros, es otra simetría central.

Ejercicio 16- Dadas tres simetrías centrales cualesquiera, la simetría (s1,s2,s3)² es la identidad.

Ejercicio 17- Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas iguales de una circunferencia, Idem para las cuerdas paralelas.

Ejercicio 18- Lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de una circunferencia situadas en rectas concurrentes en un punto P distinto del centro de la misma.

Ejercicio 19- El producto de 2n simetrías centrales es una traslación.

Ejercicio 20- El producto de 2n+1 simetrías centrales es otra simetría.

 

 

 

 

 

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