Ejercicios de Número Real

 

 

 

 

Ejercicio 1 Demuestre que la composición de funciones:

1. es asociativa,

2. no es conmutativa
3. siempre tiene un neutro por la derecha y un neutro por la izquierda
4. un elemento (función) tiene simétrico si y sí lo si es biyectiva.

Ejercicio 2. Demuestre a partir del principio de buena ordenación la veracidad de cada una de las siguientes afirmaciones y su equivalencia con el principio de inducción:

 


(a)
La proposición P (n) es verdad para todo ${n\geq k\in \mathb{N}}$si P (k) es verdad y para cada${n\geq k$
es cierta la implicación  (P (n) verdad) ⇒ (P (n + 1) verdad),

 

que podría denominarse principio de inducción desplazada;


(b) la proposición P (n) es verdad para todo
${n\geq k\in \mathb{N}}$ si P (k) y P (k + 1) son verdad y para cada ${n\geq k$ es cierta la implicación (P (n) verdad) (P (n + 1) verdad) ⇒ (P (n + 2) verdad),

que podría denominarse principio de inducción recurrente;

 


Ejercicio 3
Demuestre por inducción que
$\forall x \in \mathcal{N}$ se verifica que

 

$\sum_{i=0}^n(2k+1)=n^2$

 

$\sum_{i=0}^n(k^3) = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$

 

$\forall\quad x\not=1\quad \sum_{i=0}^n(1+x^{2^n})=\frac{1-x^{2^{(n+1)}}}{1-x}$

 


Ejercicio 4
Sea
$\left( {^n _m} \right)$el coeficiente binomial entre n y m., siendo n, m ∈ N y $\left( {^n _m} \right)=\frac{n!}{(n-m!)m!}$donde se define 0! = 1 y donde el factorial de n ∈ N es n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1.

Demuestre:

a)  $ \left( {^n _m} \right)= \left( {^n_{n-m}} \right) $

b)   $ \left( {^n _{m-1}} \right)+\left( {^n _m} \right)= \left( {^{n+1}_m} \right) $

c)    $(a+b)^n = \sum^n_{k=0} \left({^n_k} \right) x^k y^{n-k}$

 

Ejercicio 5 Demuestre los siguientes resultados:
1. Sea A un conjunto numerable y f : A → B una función sobreyectiva. Entonces B es finito o numerable.

2.
a) El conjunto Z+ × Z+ es numerable.
b) Sea A un conjunto numerable. Entonces A × A es numerable.

Ejercicio 6. Pruebe a partir de los axiomas algebraicos de R que
1. El elemento neutro del producto e ∈ R es único
2. el elemento simétrico
a
∈ R de uno dado es también único.
3. a) ∀ x ∈ R, 0x = 0

́4. ∀x, y, z ∈ R, yx = zx ∧ xy = xz ⇒ y = z

 

Ejercicio 7. Pruebe a partir de los axiomas algebraicos y de orden que
1. a) Si x, y son negativos, entonces xy es positivo, mientras que si sí lo uno de los dos
es negativo, el producto es negativo.

2. ∀x, y, z ∈ R,
x<y∧y <z     ⇒x<z
x<y∧z >0     ⇒ xz < yz
x<y ⇒x+z <y+z
x < y ∧ x, y > 0        ⇒1/y <1/x

 

Ejercicio 8 Pruebe que ∀x, y, z, w ∈ R,
(a) (x < y) ⇒ (x + z) < (y + z) ,

(b) (0 < x) ⇒ (−x < 0) ,

(c) (x<=y) ∧ (z <=w) ⇒ (x + z<= y + w) ,

(d) (x<=y) ∧ (z < w) ⇒ (x + z < y + w) .


 

Ejercicio 9 Resuelva las desigualdades:
(1) |x + 2| + |x − 2| <
12;             (2) |x + 1| − |x − 1| < 1;

(3) |x + 2| − |x| > 1;                (4) |x(1 − x)| < 1/20 .

 

 

Additional information