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Sección 3-5 Multiplicación de vectores

 

30. Un vector d tiene una magnitud de 2.6 m y apunta hacia el norte. .Cuales son las magnitudes y las direcciones de los vectores (a) -d, (b) d/2.0, (c) -2.5d, y (d) 5.0d?

 

31. Demuestre para cualquier vector a que (a) a • a = a1 y (b)

a x a = 0.

 

32. Un vector a de 12 unidades de magnitud y otro vector b  de 5.8 unidades de magnitud apuntan en direcciones que difieren en 55°. Halle (a) el producto escalar de los dos vectores y (b) el producto vectorial.

 

33. Dos vectores, r y s, se hallan en el plano xy. Sus magnitudes son 4.5 y 7.3 unidades, respectivamente, mientras que sus direcciones son 320° y 85° medidas en sentido anti horario desde el eje x positivo. .Cuales son los valores de (a) r • s y (b) r • s?

 

34. Halle (a) “norte” cruz “oeste”, (b) “abajo” punto “sur”, (c) “este” cruz “arriba”, (d) “oeste” punto “oeste”, y (e) “sur” cruz “sur”. Haga que cada vector tenga una magnitud unitaria.

35. Dados dos vectores, a = axi + ayi + a2k y b = bxi + b j +

.>2k, demuestre que el producto escalar a ■ b esta dado en  términos de las componentes por la ecuación 15.

 

36. Dados dos vectores, a - axi + ayj + fl2k y b = bxi + byj + bz k, Pruebe que el producto vectorial a * b esta dado en términos de las componentes por la ecuación 17.

 

37. Demuestre que a * b puede ser expresada por un determinante de 3 x 3 tal como J

 

38. Use las ecuaciones 13 y 15 para calcular el ángulo entre los dos vectores a = 3i + 3j + 3k y b = 2i + j + 3k.

 

39. Tres vectores están dados por a = 3i + 3j - 2k, b = -i - 4j + 2k, y c = 2i + 2j + k. Halle (a) a ■ (b x c), (b) a • (b + c), y (c) a • (b + c).

 

40. (a) Calcule r = a - b + c, donde a = 5i 4j - 6k, b = - 2i + 2j + 3k, y c = 4i + 3j + 2k. (b) Calcule el ángulo entre r y el eje +z. (c) Halle el ángulo entre a y b.

 

41. Tres vectores suman cero, como en el triangulo rectángulo

de la figura 28. Calcule (a) a • b, (ti) a • c, y (c) b • c.

 

42. Tres vectores suman cero, como en la figura 28. Calcule (a) a x b, (b) a x c, y (c) b x c.

 

43. El vector a esta en el plano yz a 63.0° del eje +y con  una componente z positiva y tiene una magnitud de 3.20 unidades. El vector b se halla en el plano xz a 48.0° del eje +jc con una componente z positiva y tiene una magnitud de 1.40 unidades. Halle (a) a • b, (ti) a x b, y (c) el ángulo entre a y b.

 

44. (a) Hemos visto que la ley conmutativa no se aplica a los productos vectoriales; esto es, a x b no es igual a b x a. Demuestre que la ley conmutativa si se aplica a los productos escalares; esto es, a • b = b • a. (ti) Demuestre que la ley distributiva se aplica tanto a los productos escalares  como a los productos vectoriales; esto es, demuestre que y que

a*(b + c) = a ’b -I- a*c

aX(b + c) = aXb + aXc .

(c) .Se aplica la ley asociativa a los productos vectoriales, esto es, es a x (b x c) igual a (a x b) x c? (d) .Tiene algún sentido hablar de una ley asociativa para los productos escalares?

 

45. Demuestre que el área del triangulo contenido entre los vectores a y b (Fig. 29) es }|a x b|, donde las barras verticales significan una magnitud.

 

46. Demuestre que la magnitud de un producto vectorial da numéricamente el área del paralelogramo formado por los dos vectores componentes como lados (véase la Fig. 29). Sugiere esto como un elemento de área orientado en el espacio estaría representado por un vector?

 

47. Demuestre que a • (b x c) es igual en magnitud al volumen del paralelepípedo formado sobre los tres vectores a, b, y c como se muestra en la figura 30.

.

48. Dos vectores a y b tienen componentes, en unidades arbitrarias, ax = 3.2, ay - 1.6; bx = 0.50, by = 4.5. (a) Halle el ángulo entre a y b. (b) Halle las componentes de un vector c que sea perpendicular a a, este en el plano xy, y tenga una magnitud de 5.0 unidades.

 

49. Halle los ángulos entre las diagonales del cuerpo de un cubo. Véase el problema 27.

 

50. Los tres vectores que se muestran en la figura 31 tienen magnitudes a = 3, b = 4 y c = 10. (a) Calcule las componentes x y y de estos vectores, (ti) Halle los números p y q tales que c = pa + qb.

 

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