Article Index

Capítulo 3

 

PREGUNTAS

 

1. En 1969, tres astronautas del Apolo salieron de Cabo Cañaveral, fueron a la Luna y regresaron, cayendo en el agua en un lugar de acuatizaje elegido en el océano Pacifico. Un almirante les dio el adiós en la base y luego zarpo al océano Pacifico en un portaviones para recogerlos. Compare los desplazamientos de los astronautas y del almirante.

 

2. Un perro corre 100 m hacia el sur, 100 m hacia el este, y 100 m al norte, terminando en el punto de  arranque, por lo que su desplazamiento de todo el viaje es igual a cero. .Donde está su punto de arranque? Una respuesta clara es que en el Polo Norte; pero hay otra solución, localizada cerca del Polo Sur. Descríbala.

 

3. .Pueden combinarse dos vectores que tengan diferentes magnitudes para dar una resultante de cero? .Y  tres vectores?

 

4. .Puede tener un vector una magnitud cero si una de sus componentes no es cero?

5. .Puede ser la suma de las magnitudes de dos vectores alguna vez igual a la magnitud de la suma de estos dos vectores?

 

6. ¿Puede ser la magnitud de la diferencia entre dos vectores alguna vez mayor que la magnitud de cualquiera de ellos? ¿Puede ser mayor que la magnitud de su suma? De ejemplos.

 

7. Supongamos que d = d, + d2. .Significa esto que debemos tener ya sea d > o d > d21 Si no, explique por qué.

 

8. Si tres vectores se suman para ser cero, deben estar todos en el mismo plano. Haga que esto parezca razonable.

 

9. ¿Tienen unidades los vectores unitarios i, j, y k?

 

10. Explique en qué sentido una ecuación vectorial contiene más información que una cantidad escalar.

 

11. Nombre varias cantidades escalares. ¿Depende el valor de una cantidad escalar del sistema de coordenadas elegido?

 

12. Usted puede ordenar acontecimientos en el tiempo. Por ejemplo, el suceso b debe preceder al suceso c pero seguir del a, dándonos un orden de tiempo de los acontecimientos a, b, c. Por lo tanto, existe un sentido del tiempo, distinguiendo el pasado, el presente, y el futuro. ¿Es el tiempo, por lo tanto, un vector? Si no, ¿Por qué no?

 

13.¿Se aplican las leyes conmutativa y asociativa a la resta de  vectores?

 

14. ¿Puede ser un producto escalar una cantidad negativa?

 

15. (a) ¿Si a • b = 0, .se deduce que a y b son perpendiculares entre sí? (b )¿Si a ■ b = a • c, .se deduce que b = c?

 

16. ¿Si a x b = 0, .deben a y b ser paralelos entre sí? ¿Es verdad lo reciproco?

 

17. Un vector a yace paralelo al eje de rotación de la Tierra, apuntando de sur a norte. Un segundo vector b apunta verticalmente hacia arriba hacia donde usted se encuentra. .Cual es la dirección del vector axb? ¿En qué lugares de la superficie de la Tierra es la magnitud a * b un máximo?

¿Y un mínimo?

 

18. .Debe usted especificar un sistema de coordenadas cuando (a) suma dos vectores, (b) forma su producto escalar, (c) forma su producto vectorial, o (d) halla sus componentes

 

19. (a) Demuestre que si todas las componentes de un vector invierten su dirección, entonces el propio  vector invierte su dirección, (b) Demuestre que si las componentes de los dos vectores que forman un vector producto se invierten, entonces el vector producto no cambia, (c)¿Es un vector producto, entonces, un vector?

 

20. Hemos estudiado la adición, la resta y la multiplicación de vectores. ¿Por qué supone usted que no hemos estudiado la división de vectores? ¿Es posible definir tal operación?

 

21. ¿Es convencional usar, como lo hicimos, la regla de la mano derecha en el algebra vectorial? ¿Qué cambios se requerirían si se adoptase en su lugar una convención de la mano izquierda?

 

22. (a) Convénzase usted mismo de que el producto vectorial de dos vectores polares es un vector axial. (b) ¿Cual es el producto vectorial de un vector polar por un vector axial?

 



 PROBLEMAS

 Sección 3-2 Suma de vectores: método grafico

 

1. Considere dos desplazamientos, uno de magnitud 3 m y otro de magnitud 4 m. Muestre como pueden combinarse los vectores de desplazamiento para obtener un desplazamiento resultante de magnitud (a) 7 m, (b) 1 m, y (c) 5 m.

 

2 .Cuales son las propiedades de dos vectores a y b tales que (a) a + b - c y a + b = c; (b) a + b = a - b; (c) a + b = c y a2 + b2 — c2?

 

 3. Una mujer camina 250 m en dirección 35° NE, y luego 170 m hacia el este, (a) Usando métodos gráficos, halle su desplazamiento final a partir del punto de arranque, (b) Compare la magnitud de su desplazamiento con la distancia que recorrió.

 

4. Una persona camina con el siguiente esquema: 3.1 km  norte, luego 2.4 km oeste, y finalmente 5.2 km sur. (a) Construya el diagrama vectorial que representa a este movimiento. (b) .Que tan lejos y en que dirección volaría un pájaro en línea recta para llegar al mismo punto final?

 

5. Se suman dos vectores a y b. Muestre gráficamente con diagramas vectoriales que la magnitud de la resultante no puede ser mayor que a + b ni menor que |a - b\, donde las barras verticales significan un valor absoluto.

 

6. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte 32 km y luego en dirección 28° NE durante 27 km. Dibuje el diagrama vectorial y determine el desplazamiento total del automóvil desde el punto de arranque.

 

7. El vector a tiene una magnitud de 5.2 unidades y está dirigido hacia el este. El vector b tiene una magnitud de 4.3 unidades y está dirigido 35° NO. Construyendo los diagramas vectoriales, halle las magnitudes y direcciones de (a) a + b, y (b) a - b.

 

8. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo cuando está en el green. El primer golpe desplaza a la bola 12 ft N, el segundo 6 ft SE, y el tercero 3 ft SO. .Que desplazamiento se necesitaría para meter la bola en el hoyo al primer golpe? Trace el diagrama vectorial.

 

9. Hay un robo en un banco del centro de Boston (véase el mapa de la Fig. 22). Para eludir a la policía, los ladrones escapan en un helicóptero, haciendo tres vuelos sucesivos descritos por los desplazamientos siguientes: 20 mi, 45° SE; 33 mi, 26° al NO; 16 mi, 18° SE. Al final del tercer

vuelo son capturados. .En que ciudad fueron aprehendidos?

(Use el método grafico para sumar estos desplazamientos en el mapa.)

 



Sección 3-3 Componentes de vectores

 

10. (a) .Cuales son las componentes de un vector a en el plano  xy si su dirección es 252° a anti horario del eje x positivo y su magnitud es de 7.34 unidades? (b) La componente x de cierto vector es de -25 unidades y la componente y es de +43 unidades. .Cual es la magnitud del vector y el ángulo entre su dirección y el eje x positivo?

 

11. Una pieza pesada de maquinaria es elevada y deslizada a lo largo de 13 m en un plano inclinado orientado a 22° de la horizontal, como se muestra en la figura 23. (a) ¿A qué altura de su posición original es levantada? (b)>¿A qué distancia se movió horizontalmente?

 

12. La manecilla minutera de un reloj de pared mide 11.3 cm del eje a la punta. ¿Cuál es el vector del desplazamiento de su punta (a) desde un cuarto de hora hasta la media hora, (b) en la siguiente media hora, y (c) en la siguiente hora?

 

13. Una persona desea llegar a un punto que está a 3.42 km de su ubicación actual y en una dirección de 35.0° NE. Sin  embargo, debe caminar a lo largo de calles que van ya sea de norte a sur o de este a oeste. ¿Cuál es la distancia mínima que podría caminar para llegar a su destino?

 

14. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124 km al norte. Una tormenta inesperada empuja al barco hasta un punto a 72.6 km al norte y 31.4 km al este de su punto de arranque. ¿Qué distancia, y en qué dirección, debe ahora navegar para llegar a su destino original?

 

15. Las fallas de las rocas son roturas a lo largo de las cuales se han movido las caras opuestas de la masa rocosa, paralelas a la superficie de fractura. Este movimiento esta a menudo acompañado de terremotos. En la figura 24 los puntos A y B coincidían antes de la falla. La componente del desplazamiento neto AB paralela a una línea horizontal en la superficie de la falla se llama salto de la dislocación

(AC). La componente del desplazamiento neto a lo largo de la línea con mayor pendiente del plano de la falla es la brecha de la dislocación (AD). (a) .Cual es la desviación neta si el salto de la dislocación es de 22 m y la brecha de la dislocación es de 17 m? (b) Si el plano de la falla está inclinado a 52° de la horizontal, .cual es el desplazamiento vertical neto de B como resultado de la falla en (a)?

 

16. Una rueda de radio de 45 cm gira sin resbalamiento a lo largo de un piso horizontal, como se muestra en la figura 25. P es un punto pintado sobre la llanta de la rueda. En el tiempo P esta en el punto de contacto entre la rueda y el piso. En un tiempo t2 posterior, la rueda ha rodado a la mitad de una vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento de P durante el intervalo?

 

17. Una habitación tiene las dimensiones de 10 ft x 12 ft * 14 ft. Una mosca que sale de una esquina termina su vuelo en la esquina diametralmente opuesta, (a) Halle el vector del desplazamiento en un marco con los ejes de coordenadas paralelos a las aristas de la habitación, (b) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento? (c) ¿Podría la longitud de la trayectoria viajada por la mosca ser menor que esta  distancia? ¿Mayor que esta distancia? ¿Igual a esta distancia? (d) Si la mosca caminara en lugar de volar, .¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más corta que puede recorrer?

 


 

Sección 3-4 Suma de vectores: método de las componentes

 

18. (a) .Cual es la suma, en la notación del vector unitario,  de los dos vectores a = 5i + 3j y b = -3i + 2j? (b) .Cuales son la magnitud y la dirección de a + b?

 

19. Dos vectores están dados por a = 4i -3j + k y b = -i + j + 4k. Halle (a) a + b, (b) a - b, y (c) un vector c tal que a - b + c = 0.

 

20. Dados dos vectores, a = 4i - 3j y b = 6i + 8j, halle las magnitudes y direcciones (con el eje +*) de (a) a, (b) b, (c) a + b, (d) b - a, y (e) a - b.

 

21. (a) Un hombre sale de la puerta frontal, camina 1400 m E, 2100 m N, y luego saca un centavo de su bolsillo y lo suelta desde un acantilado de 48 m de altura. En un sistema de coordenadas en el cual los ejes x, y, y z positivos apunten al este, al norte, y hacia arriba, estando el origen en la ubicación del centavo según

 el hombre sale de su puerta frontal, escriba una expresión, usando vectores

Unitarios, para el desplazamiento del centavo. (b) El hombre regresa a su puerta frontal, siguiendo una trayectoria diferente en el viaje de regreso. .Cual es su desplazamiento resultante para el viaje redondo?

 

22. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64.0° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (ti) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requeriría para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

 

23. Dos vectores a y b tienen magnitudes iguales de 12.7 unidades. Están orientados como se muestra en la figura 26 y su vector suma es r. Halle (a) las componentes x y y de r, (ti) la magnitud de r, y (c) el ángulo que forma r  con el eje +x

 

24. Una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este. En el primer contacto, la distancia al cohete es de 12,000 ft a 40.0° sobre el horizonte. El cohete es rastreado durante otros 123° en el plano este-oeste, siendo la distancia del contacto final de 25,800 ft (véase la Fig. 27)

Halle el desplazamiento del cohete durante el periodo de contacto del radar.

 

25. Dos vectores de magnitudes ay b forman un ángulo 0 entre sí cuando son situados cola con cola. Pruebe, tomando componentes a lo largo de dos ejes perpendiculares, que  la magnitud de su suma es

r=

 

26. Pruebe que dos vectores deben tener magnitudes iguales si su suma es perpendicular a su diferencia.

 

 27. (a) Usando vectores unitarios a lo largo de tres aristas de un cubo, exprese las diagonales (las líneas de una esquina a otra a través del centro del cubo) de un cubo en términos de sus aristas, las cuales tienen una longitud a. (b) Determine los ángulos formados por las diagonales con las aristas adyacentes, (c) Determine la longitud de las diagonales.

 

28. Un turista vuela de Washington, DC a Manila, (a) Describa  el vector de desplazamiento. (b) .Cual es su magnitud? La latitud y la longitud de las dos ciudades es de 39° N, 77° O y 15° N, 121° E. (Sugerencia: véase la Fig. 7 y las Ecs. 7. Haga que el eje z este a lo largo del eje de rotación de la Tierra, de modo que 6 = 90° - latitud y <j> = longitud. El radio de la Tierra es de 6370 km.)

 

29. Sea N un entero mayor que 1; entonces cos 0 + cos + cos + • • • N N + os(N — 1 )N^ = 0;

aXb = esto es, También 1 cos 2nn = 0. n—0

2 ' ≪ e 2nn-nj j - o ./j*»0

Pruebe estos dos planteamientos considerando la suma de

N vectores de igual longitud, formando cada vector un

ángulo de 2 tc/N con el precedente.

 


 

Sección 3-5 Multiplicación de vectores

 

30. Un vector d tiene una magnitud de 2.6 m y apunta hacia el norte. .Cuales son las magnitudes y las direcciones de los vectores (a) -d, (b) d/2.0, (c) -2.5d, y (d) 5.0d?

 

31. Demuestre para cualquier vector a que (a) a • a = a1 y (b)

a x a = 0.

 

32. Un vector a de 12 unidades de magnitud y otro vector b  de 5.8 unidades de magnitud apuntan en direcciones que difieren en 55°. Halle (a) el producto escalar de los dos vectores y (b) el producto vectorial.

 

33. Dos vectores, r y s, se hallan en el plano xy. Sus magnitudes son 4.5 y 7.3 unidades, respectivamente, mientras que sus direcciones son 320° y 85° medidas en sentido anti horario desde el eje x positivo. .Cuales son los valores de (a) r • s y (b) r • s?

 

34. Halle (a) “norte” cruz “oeste”, (b) “abajo” punto “sur”, (c) “este” cruz “arriba”, (d) “oeste” punto “oeste”, y (e) “sur” cruz “sur”. Haga que cada vector tenga una magnitud unitaria.

35. Dados dos vectores, a = axi + ayi + a2k y b = bxi + b j +

.>2k, demuestre que el producto escalar a ■ b esta dado en  términos de las componentes por la ecuación 15.

 

36. Dados dos vectores, a - axi + ayj + fl2k y b = bxi + byj + bz k, Pruebe que el producto vectorial a * b esta dado en términos de las componentes por la ecuación 17.

 

37. Demuestre que a * b puede ser expresada por un determinante de 3 x 3 tal como J

 

38. Use las ecuaciones 13 y 15 para calcular el ángulo entre los dos vectores a = 3i + 3j + 3k y b = 2i + j + 3k.

 

39. Tres vectores están dados por a = 3i + 3j - 2k, b = -i - 4j + 2k, y c = 2i + 2j + k. Halle (a) a ■ (b x c), (b) a • (b + c), y (c) a • (b + c).

 

40. (a) Calcule r = a - b + c, donde a = 5i 4j - 6k, b = - 2i + 2j + 3k, y c = 4i + 3j + 2k. (b) Calcule el ángulo entre r y el eje +z. (c) Halle el ángulo entre a y b.

 

41. Tres vectores suman cero, como en el triangulo rectángulo

de la figura 28. Calcule (a) a • b, (ti) a • c, y (c) b • c.

 

42. Tres vectores suman cero, como en la figura 28. Calcule (a) a x b, (b) a x c, y (c) b x c.

 

43. El vector a esta en el plano yz a 63.0° del eje +y con  una componente z positiva y tiene una magnitud de 3.20 unidades. El vector b se halla en el plano xz a 48.0° del eje +jc con una componente z positiva y tiene una magnitud de 1.40 unidades. Halle (a) a • b, (ti) a x b, y (c) el ángulo entre a y b.

 

44. (a) Hemos visto que la ley conmutativa no se aplica a los productos vectoriales; esto es, a x b no es igual a b x a. Demuestre que la ley conmutativa si se aplica a los productos escalares; esto es, a • b = b • a. (ti) Demuestre que la ley distributiva se aplica tanto a los productos escalares  como a los productos vectoriales; esto es, demuestre que y que

a*(b + c) = a ’b -I- a*c

aX(b + c) = aXb + aXc .

(c) .Se aplica la ley asociativa a los productos vectoriales, esto es, es a x (b x c) igual a (a x b) x c? (d) .Tiene algún sentido hablar de una ley asociativa para los productos escalares?

 

45. Demuestre que el área del triangulo contenido entre los vectores a y b (Fig. 29) es }|a x b|, donde las barras verticales significan una magnitud.

 

46. Demuestre que la magnitud de un producto vectorial da numéricamente el área del paralelogramo formado por los dos vectores componentes como lados (véase la Fig. 29). Sugiere esto como un elemento de área orientado en el espacio estaría representado por un vector?

 

47. Demuestre que a • (b x c) es igual en magnitud al volumen del paralelepípedo formado sobre los tres vectores a, b, y c como se muestra en la figura 30.

.

48. Dos vectores a y b tienen componentes, en unidades arbitrarias, ax = 3.2, ay - 1.6; bx = 0.50, by = 4.5. (a) Halle el ángulo entre a y b. (b) Halle las componentes de un vector c que sea perpendicular a a, este en el plano xy, y tenga una magnitud de 5.0 unidades.

 

49. Halle los ángulos entre las diagonales del cuerpo de un cubo. Véase el problema 27.

 

50. Los tres vectores que se muestran en la figura 31 tienen magnitudes a = 3, b = 4 y c = 10. (a) Calcule las componentes x y y de estos vectores, (ti) Halle los números p y q tales que c = pa + qb.

 


 

Sección 3-6 Leyes vectoriales en la física

 

51. Use la figura 106 para derivar las ecuaciones 18.

 

52. Un vector a con una magnitud de 17 m está dirigido 56° en sentido anti horario del eje +x, como se muestra en la figura 32. (a) .Cuales son las componentes ax y ay del vector? (b) Un segundo sistema de coordenadas está inclinado en 18° con respecto al primero. .Cuales son las componentes a. y ay,' en este sistema “primo” de coordenadas? y

 

53. La figura 33 muestra dos vectores a y b y dos sistemas de  coordenadas que difieren en que los ejes x y x' y los ejes y y y' forman cada uno un ángulo /J con el otro. Pruebe analíticamente que a + b tiene la misma magnitud y dirección sin importar que sistema se haya usado para llevar a cabo el análisis. (Sugerencia: Use las Ecuaciones. 18).

 

Additional information