Deducción de las ecuaciones

de la cinemática por Integración

 

 

Nuestro trabajo ha de comenzar con la suposición de que ya existe un estudio básico de las ecuaciones del movimiento, o al menos una noción, vale de igual manera detallar lo siguiente: Sabemos que $ a={ dv \over dt}$ o sea que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, vamos entonces a proceder con el desarrollo:

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por dt obteniendo $ a.dt = dv $ integramos ambos miembros para obtener: $\int\limits_0^t {a . dt} = \int \limits_{v_0}^{v} dv$ al operar obtenemos $a\int\limits_0^t { dt} = v-v_0 $ ahora podemos integrar: $a.t = v-v_0 $ o sea $v=v_0+at $

Muy bien nuestro trabajo está a la mano, ahora también podemos afirmar que: $v={dx\over dt}$ siguiendo entonces el mismo proceder: $v.dt=dx$ integrando

$\int\limits_0^t v.dt = \int\limits^x_{x_0} dx$ de allí usando nuestro resultado anterior $x-x_0= \int\limits^t_0 (v_0 +at)dt$ ordenamos $x-x_0= v_0\int\limits^t_0 dt + a\int\limits {t} dt$ __ya casi está lista $x-x_0= v_0t + {at^2\over 2}$ o como la conocemos mejor: $x=x_0+ v_0t + {at^2\over 2}$

 

Si el movimiento fuera vertical, sólo debemos cambiar la x por la y en las ecuaciones y tenemos las ecuaciones para movimientos en el eje y con aceleración conocida (g=-9.8 m/s²).

¿La altura máxima?

Muy bien sabemos que el máximo se obtiene en el cero de la derivada de una función: ok entonces $d(y=y_0+ v_0t + {gt^2\over 2})$ nos dará el tiempo en el cual la altura es máxima $y=v_0 + gt$ igualamos y a 0 para obtener el máximo y nos da que ${v_0\over g} = t_{max}$ sustituímos en la ecuación original el tiempo obtenido y tenemos $y=y_0+ v_0t + {gt^2\over 2}$ y así $y{\small_{max}}= {v_0.v_0\over g} - {v_0\over 2g}^2$  con lo cual obtenemos $y{\small_{max}}= {v_0\over 2g}$

Additional information